Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 122035 / 115763
↖ ↑ ↗
← S 79.712231°
E155.179138°		 ← 54.55 m → S 79.712231°
E155.181885°		 →
↑
54.54 m
↓
↑
54.54 m
↓
S 79.712721°
E155.179138°		 ← 54.54 m →
2 975 m²		 S 79.712721°
E155.181885°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 122035 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 115763 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.931056976318359 y=0.883205413818359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.931056976318359 × 217)
    floor (0.931056976318359 × 131072)
    floor (122035.5)     		tx = 122035
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.883205413818359 × 217)
    floor (0.883205413818359 × 131072)
    floor (115763.5)     		ty = 115763
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 122035 / 115763 ti = "17/122035/115763"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/122035/115763.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 122035 ÷ 217
    122035 ÷ 131072     		x = 0.931053161621094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 115763 ÷ 217
    115763 ÷ 131072     		y = 0.883201599121094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.931053161621094 × 2 - 1) × π
    0.862106323242188 × 3.1415926535     		Λ = 2.70838689
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.883201599121094 × 2 - 1) × π
    -0.766403198242188 × 3.1415926535     		Φ = -2.40772665721656
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.70838689} λ = 2.70838689}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.40772665721656))-π/2
    2×atan(0.0900197077866234)-π/2
    2×0.0897777235917421-π/2
    0.179555447183484-1.57079632675     		φ = -1.39124088
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.70838689} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 155.179138°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.39124088 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.712231°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 122035 KachelY 115763 2.70838689 -1.39124088 155.179138 -79.712231
    Oben rechts KachelX + 1 122036 KachelY 115763 2.70843483 -1.39124088 155.181885 -79.712231
    Unten links KachelX 122035 KachelY + 1 115764 2.70838689 -1.39124944 155.179138 -79.712721
    Unten rechts KachelX + 1 122036 KachelY + 1 115764 2.70843483 -1.39124944 155.181885 -79.712721
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.39124088--1.39124944) × R
    8.55999999993529e-06 × 6371000     		dl = 54.5357599995877m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.39124088--1.39124944) × R
    8.55999999993529e-06 × 6371000     		dr = 54.5357599995877m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.70838689-2.70843483) × cos(-1.39124088) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.178592184882693 × 6371000     		do = 54.5466502259775m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.70838689-2.70843483) × cos(-1.39124944) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.178583762493697 × 6371000     		du = 54.5440778115859m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.39124088)-sin(-1.39124944))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.178592184882693-0.178583762493697)×R²
    abs(2.70843483-2.70838689)×8.42238899567693e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.42238899567693e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.42238899567693e-06×40589641000000     		ar = 2974.67288131745m²