Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 122035 / 115757
↖ ↑ ↗
← S 79.709287°
E155.179138°		 ← 54.56 m → S 79.709287°
E155.181885°		 →
↑
54.54 m
↓
↑
54.54 m
↓
S 79.709778°
E155.179138°		 ← 54.56 m →
2 976 m²		 S 79.709778°
E155.181885°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 122035 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 115757 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.931056976318359 y=0.883159637451172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.931056976318359 × 217)
    floor (0.931056976318359 × 131072)
    floor (122035.5)     		tx = 122035
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.883159637451172 × 217)
    floor (0.883159637451172 × 131072)
    floor (115757.5)     		ty = 115757
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 122035 / 115757 ti = "17/122035/115757"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/122035/115757.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 122035 ÷ 217
    122035 ÷ 131072     		x = 0.931053161621094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 115757 ÷ 217
    115757 ÷ 131072     		y = 0.883155822753906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.931053161621094 × 2 - 1) × π
    0.862106323242188 × 3.1415926535     		Λ = 2.70838689
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.883155822753906 × 2 - 1) × π
    -0.766311645507812 × 3.1415926535     		Φ = -2.40743903581884
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.70838689} λ = 2.70838689}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.40743903581884))-π/2
    2×atan(0.0900456031046446)-π/2
    2×0.0898034106932243-π/2
    0.179606821386449-1.57079632675     		φ = -1.39118951
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.70838689} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 155.179138°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.39118951 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.709287°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 122035 KachelY 115757 2.70838689 -1.39118951 155.179138 -79.709287
    Oben rechts KachelX + 1 122036 KachelY 115757 2.70843483 -1.39118951 155.181885 -79.709287
    Unten links KachelX 122035 KachelY + 1 115758 2.70838689 -1.39119807 155.179138 -79.709778
    Unten rechts KachelX + 1 122036 KachelY + 1 115758 2.70843483 -1.39119807 155.181885 -79.709778
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.39118951--1.39119807) × R
    8.55999999993529e-06 × 6371000     		dl = 54.5357599995877m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.39118951--1.39119807) × R
    8.55999999993529e-06 × 6371000     		dr = 54.5357599995877m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.70838689-2.70843483) × cos(-1.39118951) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.178642728780978 × 6371000     		do = 54.5620876335136m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.70838689-2.70843483) × cos(-1.39119807) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.178634306470523 × 6371000     		du = 54.5595152431105m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.39118951)-sin(-1.39119807))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.178642728780978-0.178634306470523)×R²
    abs(2.70843483-2.70838689)×8.42231045458663e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.42231045458663e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.42231045458663e-06×40589641000000     		ar = 2975.51477277782m²