Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 122033 / 115825
↖ ↑ ↗
← S 79.742599°
E155.173645°		 ← 54.38 m → S 79.742599°
E155.176391°		 →
↑
54.34 m
↓
↑
54.34 m
↓
S 79.743087°
E155.173645°		 ← 54.37 m →
2 955 m²		 S 79.743087°
E155.176391°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 122033 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 115825 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.931041717529297 y=0.883678436279297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.931041717529297 × 217)
    floor (0.931041717529297 × 131072)
    floor (122033.5)     		tx = 122033
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.883678436279297 × 217)
    floor (0.883678436279297 × 131072)
    floor (115825.5)     		ty = 115825
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 122033 / 115825 ti = "17/122033/115825"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/122033/115825.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 122033 ÷ 217
    122033 ÷ 131072     		x = 0.931037902832031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 115825 ÷ 217
    115825 ÷ 131072     		y = 0.883674621582031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.931037902832031 × 2 - 1) × π
    0.862075805664062 × 3.1415926535     		Λ = 2.70829102
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.883674621582031 × 2 - 1) × π
    -0.767349243164062 × 3.1415926535     		Φ = -2.410698744993
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.70829102} λ = 2.70829102}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.410698744993))-π/2
    2×atan(0.0897525585056789)-π/2
    2×0.0895127154500907-π/2
    0.179025430900181-1.57079632675     		φ = -1.39177090
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.70829102} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 155.173645°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.39177090 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.742599°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 122033 KachelY 115825 2.70829102 -1.39177090 155.173645 -79.742599
    Oben rechts KachelX + 1 122034 KachelY 115825 2.70833895 -1.39177090 155.176391 -79.742599
    Unten links KachelX 122033 KachelY + 1 115826 2.70829102 -1.39177943 155.173645 -79.743087
    Unten rechts KachelX + 1 122034 KachelY + 1 115826 2.70833895 -1.39177943 155.176391 -79.743087
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.39177090--1.39177943) × R
    8.52999999989557e-06 × 6371000     		dl = 54.3446299993346m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.39177090--1.39177943) × R
    8.52999999989557e-06 × 6371000     		dr = 54.3446299993346m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.70829102-2.70833895) × cos(-1.39177090) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.178070660856099 × 6371000     		do = 54.3760184824933m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.70829102-2.70833895) × cos(-1.39177943) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.178062267178615 × 6371000     		du = 54.3734553720975m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.39177090)-sin(-1.39177943))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.178070660856099-0.178062267178615)×R²
    abs(2.70833895-2.70829102)×8.39367748434183e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.39367748434183e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.39367748434183e-06×40589641000000     		ar = 2954.97495953431m²