Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 122032 / 115760
↖ ↑ ↗
← S 79.710759°
E155.170898°		 ← 54.55 m → S 79.710759°
E155.173645°		 →
↑
54.60 m
↓
↑
54.60 m
↓
S 79.711250°
E155.170898°		 ← 54.55 m →
2 979 m²		 S 79.711250°
E155.173645°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 122032 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 115760 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.931034088134766 y=0.883182525634766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.931034088134766 × 217)
    floor (0.931034088134766 × 131072)
    floor (122032.5)     		tx = 122032
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.883182525634766 × 217)
    floor (0.883182525634766 × 131072)
    floor (115760.5)     		ty = 115760
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 122032 / 115760 ti = "17/122032/115760"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/122032/115760.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 122032 ÷ 217
    122032 ÷ 131072     		x = 0.9310302734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 115760 ÷ 217
    115760 ÷ 131072     		y = 0.8831787109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9310302734375 × 2 - 1) × π
    0.862060546875 × 3.1415926535     		Λ = 2.70824308
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.8831787109375 × 2 - 1) × π
    -0.766357421875 × 3.1415926535     		Φ = -2.4075828465177
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.70824308} λ = 2.70824308}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.4075828465177))-π/2
    2×atan(0.0900326545146281)-π/2
    2×0.0897905662338147-π/2
    0.179581132467629-1.57079632675     		φ = -1.39121519
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.70824308} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 155.170898°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.39121519 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.710759°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 122032 KachelY 115760 2.70824308 -1.39121519 155.170898 -79.710759
    Oben rechts KachelX + 1 122033 KachelY 115760 2.70829102 -1.39121519 155.173645 -79.710759
    Unten links KachelX 122032 KachelY + 1 115761 2.70824308 -1.39122376 155.170898 -79.711250
    Unten rechts KachelX + 1 122033 KachelY + 1 115761 2.70829102 -1.39122376 155.173645 -79.711250
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.39121519--1.39122376) × R
    8.56999999987451e-06 × 6371000     		dl = 54.5994699992005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.39121519--1.39122376) × R
    8.56999999987451e-06 × 6371000     		dr = 54.5994699992005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.70824308-2.70829102) × cos(-1.39121519) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.178617461810347 × 6371000     		do = 54.5543704503111m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.70824308-2.70829102) × cos(-1.39122376) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.178609029621425 × 6371000     		du = 54.55179504277m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.39121519)-sin(-1.39122376))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.178617461810347-0.178609029621425)×R²
    abs(2.70829102-2.70824308)×8.43218892146447e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.43218892146447e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.43218892146447e-06×40589641000000     		ar = 2978.56940482717m²