Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 122031 / 115719
↖ ↑ ↗
← S 79.690626°
E155.168152°		 ← 54.66 m → S 79.690626°
E155.170898°		 →
↑
54.66 m
↓
↑
54.66 m
↓
S 79.691117°
E155.168152°		 ← 54.66 m →
2 988 m²		 S 79.691117°
E155.170898°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 122031 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 115719 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.931026458740234 y=0.882869720458984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.931026458740234 × 217)
    floor (0.931026458740234 × 131072)
    floor (122031.5)     		tx = 122031
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.882869720458984 × 217)
    floor (0.882869720458984 × 131072)
    floor (115719.5)     		ty = 115719
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 122031 / 115719 ti = "17/122031/115719"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/122031/115719.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 122031 ÷ 217
    122031 ÷ 131072     		x = 0.931022644042969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 115719 ÷ 217
    115719 ÷ 131072     		y = 0.882865905761719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.931022644042969 × 2 - 1) × π
    0.862045288085938 × 3.1415926535     		Λ = 2.70819514
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.882865905761719 × 2 - 1) × π
    -0.765731811523438 × 3.1415926535     		Φ = -2.40561743363328
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.70819514} λ = 2.70819514}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.40561743363328))-π/2
    2×atan(0.0902097798590295)-π/2
    2×0.0899662645849668-π/2
    0.179932529169934-1.57079632675     		φ = -1.39086380
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.70819514} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 155.168152°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.39086380 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.690626°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 122031 KachelY 115719 2.70819514 -1.39086380 155.168152 -79.690626
    Oben rechts KachelX + 1 122032 KachelY 115719 2.70824308 -1.39086380 155.170898 -79.690626
    Unten links KachelX 122031 KachelY + 1 115720 2.70819514 -1.39087238 155.168152 -79.691117
    Unten rechts KachelX + 1 122032 KachelY + 1 115720 2.70824308 -1.39087238 155.170898 -79.691117
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.39086380--1.39087238) × R
    8.58000000003578e-06 × 6371000     		dl = 54.663180000228m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.39086380--1.39087238) × R
    8.58000000003578e-06 × 6371000     		dr = 54.663180000228m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.70819514-2.70824308) × cos(-1.39086380) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.178963189931073 × 6371000     		do = 54.6599647174228m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.70819514-2.70824308) × cos(-1.39087238) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.178954748441977 × 6371000     		du = 54.657386469369m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.39086380)-sin(-1.39087238))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.178963189931073-0.178954748441977)×R²
    abs(2.70824308-2.70819514)×8.44148909598386e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.44148909598386e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.44148909598386e-06×40589641000000     		ar = 2987.81702240618m²