Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 122019 / 115873
↖ ↑ ↗
← S 79.766048°
E155.135193°		 ← 54.26 m → S 79.766048°
E155.137940°		 →
↑
54.22 m
↓
↑
54.22 m
↓
S 79.766536°
E155.135193°		 ← 54.26 m →
2 942 m²		 S 79.766536°
E155.137940°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 122019 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 115873 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.930934906005859 y=0.884044647216797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.930934906005859 × 217)
    floor (0.930934906005859 × 131072)
    floor (122019.5)     		tx = 122019
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.884044647216797 × 217)
    floor (0.884044647216797 × 131072)
    floor (115873.5)     		ty = 115873
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 122019 / 115873 ti = "17/122019/115873"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/122019/115873.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 122019 ÷ 217
    122019 ÷ 131072     		x = 0.930931091308594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 115873 ÷ 217
    115873 ÷ 131072     		y = 0.884040832519531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.930931091308594 × 2 - 1) × π
    0.861862182617188 × 3.1415926535     		Λ = 2.70761990
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.884040832519531 × 2 - 1) × π
    -0.768081665039062 × 3.1415926535     		Φ = -2.41299971617477
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.70761990} λ = 2.70761990}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.41299971617477))-π/2
    2×atan(0.0895462778689802)-π/2
    2×0.0893080794771298-π/2
    0.17861615895426-1.57079632675     		φ = -1.39218017
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.70761990} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 155.135193°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.39218017 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.766048°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 122019 KachelY 115873 2.70761990 -1.39218017 155.135193 -79.766048
    Oben rechts KachelX + 1 122020 KachelY 115873 2.70766784 -1.39218017 155.137940 -79.766048
    Unten links KachelX 122019 KachelY + 1 115874 2.70761990 -1.39218868 155.135193 -79.766536
    Unten rechts KachelX + 1 122020 KachelY + 1 115874 2.70766784 -1.39218868 155.137940 -79.766536
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.39218017--1.39218868) × R
    8.51000000001711e-06 × 6371000     		dl = 54.217210000109m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.39218017--1.39218868) × R
    8.51000000001711e-06 × 6371000     		dr = 54.217210000109m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.70761990-2.70766784) × cos(-1.39218017) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.177667917028461 × 6371000     		do = 54.2643550326408m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.70761990-2.70766784) × cos(-1.39218868) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.177659542411877 × 6371000     		du = 54.2617972091733m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.39218017)-sin(-1.39218868))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.177667917028461-0.177659542411877)×R²
    abs(2.70766784-2.70761990)×8.37461658423355e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.37461658423355e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.37461658423355e-06×40589641000000     		ar = 2941.99259317559m²