Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 122013 / 115775
↖ ↑ ↗
← S 79.718115°
E155.118713°		 ← 54.52 m → S 79.718115°
E155.121460°		 →
↑
54.54 m
↓
↑
54.54 m
↓
S 79.718605°
E155.118713°		 ← 54.51 m →
2 973 m²		 S 79.718605°
E155.121460°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 122013 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 115775 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.930889129638672 y=0.883296966552734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.930889129638672 × 217)
    floor (0.930889129638672 × 131072)
    floor (122013.5)     		tx = 122013
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.883296966552734 × 217)
    floor (0.883296966552734 × 131072)
    floor (115775.5)     		ty = 115775
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 122013 / 115775 ti = "17/122013/115775"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/122013/115775.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 122013 ÷ 217
    122013 ÷ 131072     		x = 0.930885314941406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 115775 ÷ 217
    115775 ÷ 131072     		y = 0.883293151855469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.930885314941406 × 2 - 1) × π
    0.861770629882812 × 3.1415926535     		Λ = 2.70733228
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.883293151855469 × 2 - 1) × π
    -0.766586303710938 × 3.1415926535     		Φ = -2.408301900012
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.70733228} λ = 2.70733228}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.408301900012))-π/2
    2×atan(0.089967939489369)-π/2
    2×0.0897263711918491-π/2
    0.179452742383698-1.57079632675     		φ = -1.39134358
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.70733228} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 155.118713°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.39134358 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.718115°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 122013 KachelY 115775 2.70733228 -1.39134358 155.118713 -79.718115
    Oben rechts KachelX + 1 122014 KachelY 115775 2.70738022 -1.39134358 155.121460 -79.718115
    Unten links KachelX 122013 KachelY + 1 115776 2.70733228 -1.39135214 155.118713 -79.718605
    Unten rechts KachelX + 1 122014 KachelY + 1 115776 2.70738022 -1.39135214 155.121460 -79.718605
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.39134358--1.39135214) × R
    8.55999999993529e-06 × 6371000     		dl = 54.5357599995877m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.39134358--1.39135214) × R
    8.55999999993529e-06 × 6371000     		dr = 54.5357599995877m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.70733228-2.70738022) × cos(-1.39134358) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.178491135030069 × 6371000     		do = 54.5157869999628m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.70733228-2.70738022) × cos(-1.39135214) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.178482712484118 × 6371000     		du = 54.5132145376334m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.39134358)-sin(-1.39135214))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.178491135030069-0.178482712484118)×R²
    abs(2.70738022-2.70733228)×8.42254595009861e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.42254595009861e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.42254595009861e-06×40589641000000     		ar = 2972.98973051419m²