Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12201 / 20329
↖ ↑ ↗
← S 39.715638°
W 45.955810°		 ← 939.67 m → S 39.715638°
W 45.944824°		 →
↑
939.66 m
↓
↑
939.66 m
↓
S 39.724089°
W 45.955810°		 ← 939.55 m →
882 912 m²		 S 39.724089°
W 45.944824°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12201 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20329 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.372360229492188 y=0.620407104492188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.372360229492188 × 215)
    floor (0.372360229492188 × 32768)
    floor (12201.5)     		tx = 12201
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.620407104492188 × 215)
    floor (0.620407104492188 × 32768)
    floor (20329.5)     		ty = 20329
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12201 / 20329 ti = "15/12201/20329"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12201/20329.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12201 ÷ 215
    12201 ÷ 32768     		x = 0.372344970703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20329 ÷ 215
    20329 ÷ 32768     		y = 0.620391845703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.372344970703125 × 2 - 1) × π
    -0.25531005859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.80208020
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.620391845703125 × 2 - 1) × π
    -0.24078369140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.756444276004486
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.80208020} λ = -0.80208020}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.756444276004486))-π/2
    2×atan(0.469332279647284)-π/2
    2×0.438813838414356-π/2
    0.877627676828712-1.57079632675     		φ = -0.69316865
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.80208020} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.955810°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.69316865 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.715638°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12201 KachelY 20329 -0.80208020 -0.69316865 -45.955810 -39.715638
    Oben rechts KachelX + 1 12202 KachelY 20329 -0.80188846 -0.69316865 -45.944824 -39.715638
    Unten links KachelX 12201 KachelY + 1 20330 -0.80208020 -0.69331614 -45.955810 -39.724089
    Unten rechts KachelX + 1 12202 KachelY + 1 20330 -0.80188846 -0.69331614 -45.944824 -39.724089
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.69316865--0.69331614) × R
    0.000147489999999917 × 6371000     		dl = 939.65878999947m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.69316865--0.69331614) × R
    0.000147489999999917 × 6371000     		dr = 939.65878999947m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.80208020--0.80188846) × cos(-0.69316865) × R
    0.000191739999999996 × 0.769225183045869 × 6371000     		do = 939.666668360835m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.80208020--0.80188846) × cos(-0.69331614) × R
    0.000191739999999996 × 0.769130931845179 × 6371000     		du = 939.551533399458m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.69316865)-sin(-0.69331614))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.769225183045869-0.769130931845179)×R²
    abs(-0.80188846--0.80208020)×9.42512006893992e-05×R²
    0.000191739999999996×9.42512006893992e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.42512006893992e-05×40589641000000     		ar = 882911.952406034m²