Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12201 / 20265
↖ ↑ ↗
← S 39.172659°
W 45.955810°		 ← 947.02 m → S 39.172659°
W 45.944824°		 →
↑
946.99 m
↓
↑
946.99 m
↓
S 39.181175°
W 45.955810°		 ← 946.91 m →
896 761 m²		 S 39.181175°
W 45.944824°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12201 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20265 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.372360229492188 y=0.618453979492188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.372360229492188 × 215)
    floor (0.372360229492188 × 32768)
    floor (12201.5)     		tx = 12201
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.618453979492188 × 215)
    floor (0.618453979492188 × 32768)
    floor (20265.5)     		ty = 20265
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12201 / 20265 ti = "15/12201/20265"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12201/20265.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12201 ÷ 215
    12201 ÷ 32768     		x = 0.372344970703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20265 ÷ 215
    20265 ÷ 32768     		y = 0.618438720703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.372344970703125 × 2 - 1) × π
    -0.25531005859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.80208020
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.618438720703125 × 2 - 1) × π
    -0.23687744140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.744172429701752
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.80208020} λ = -0.80208020}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.744172429701752))-π/2
    2×atan(0.475127338557214)-π/2
    2×0.44355222812624-π/2
    0.887104456252479-1.57079632675     		φ = -0.68369187
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.80208020} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.955810°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.68369187 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.172659°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12201 KachelY 20265 -0.80208020 -0.68369187 -45.955810 -39.172659
    Oben rechts KachelX + 1 12202 KachelY 20265 -0.80188846 -0.68369187 -45.944824 -39.172659
    Unten links KachelX 12201 KachelY + 1 20266 -0.80208020 -0.68384051 -45.955810 -39.181175
    Unten rechts KachelX + 1 12202 KachelY + 1 20266 -0.80188846 -0.68384051 -45.944824 -39.181175
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.68369187--0.68384051) × R
    0.000148640000000033 × 6371000     		dl = 946.985440000211m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.68369187--0.68384051) × R
    0.000148640000000033 × 6371000     		dr = 946.985440000211m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.80208020--0.80188846) × cos(-0.68369187) × R
    0.000191739999999996 × 0.775246002808028 × 6371000     		do = 947.021554513037m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.80208020--0.80188846) × cos(-0.68384051) × R
    0.000191739999999996 × 0.775152104386658 × 6371000     		du = 946.906850498248m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.68369187)-sin(-0.68384051))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.775246002808028-0.775152104386658)×R²
    abs(-0.80188846--0.80208020)×9.38984213693095e-05×R²
    0.000191739999999996×9.38984213693095e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.38984213693095e-05×40589641000000     		ar = 896761.313625056m²