Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 122008 / 115864
↖ ↑ ↗
← S 79.761655°
E155.104981°		 ← 54.28 m → S 79.761655°
E155.107727°		 →
↑
54.28 m
↓
↑
54.28 m
↓
S 79.762143°
E155.104981°		 ← 54.27 m →
2 946 m²		 S 79.762143°
E155.107727°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 122008 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 115864 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.930850982666016 y=0.883975982666016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.930850982666016 × 217)
    floor (0.930850982666016 × 131072)
    floor (122008.5)     		tx = 122008
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.883975982666016 × 217)
    floor (0.883975982666016 × 131072)
    floor (115864.5)     		ty = 115864
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 122008 / 115864 ti = "17/122008/115864"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/122008/115864.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 122008 ÷ 217
    122008 ÷ 131072     		x = 0.93084716796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 115864 ÷ 217
    115864 ÷ 131072     		y = 0.88397216796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.93084716796875 × 2 - 1) × π
    0.8616943359375 × 3.1415926535     		Λ = 2.70709260
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.88397216796875 × 2 - 1) × π
    -0.7679443359375 × 3.1415926535     		Φ = -2.41256828407819
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.70709260} λ = 2.70709260}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.41256828407819))-π/2
    2×atan(0.0895849193423688)-π/2
    2×0.0893464134356346-π/2
    0.178692826871269-1.57079632675     		φ = -1.39210350
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.70709260} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 155.104981°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.39210350 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.761655°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 122008 KachelY 115864 2.70709260 -1.39210350 155.104981 -79.761655
    Oben rechts KachelX + 1 122009 KachelY 115864 2.70714053 -1.39210350 155.107727 -79.761655
    Unten links KachelX 122008 KachelY + 1 115865 2.70709260 -1.39211202 155.104981 -79.762143
    Unten rechts KachelX + 1 122009 KachelY + 1 115865 2.70714053 -1.39211202 155.107727 -79.762143
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.39210350--1.39211202) × R
    8.51999999995634e-06 × 6371000     		dl = 54.2809199997218m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.39210350--1.39211202) × R
    8.51999999995634e-06 × 6371000     		dr = 54.2809199997218m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.70709260-2.70714053) × cos(-1.39210350) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.177743366724794 × 6371000     		do = 54.2760752821509m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.70709260-2.70714053) × cos(-1.39211202) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.17773498238337 × 6371000     		du = 54.2735150226332m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.39210350)-sin(-1.39211202))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.177743366724794-0.17773498238337)×R²
    abs(2.70714053-2.70709260)×8.38434142469424e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.38434142469424e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.38434142469424e-06×40589641000000     		ar = 2946.08581364947m²