Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 122006 / 115859
↖ ↑ ↗
← S 79.759214°
E155.099487°		 ← 54.30 m → S 79.759214°
E155.102234°		 →
↑
54.28 m
↓
↑
54.28 m
↓
S 79.759702°
E155.099487°		 ← 54.30 m →
2 947 m²		 S 79.759702°
E155.102234°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 122006 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 115859 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.930835723876953 y=0.883937835693359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.930835723876953 × 217)
    floor (0.930835723876953 × 131072)
    floor (122006.5)     		tx = 122006
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.883937835693359 × 217)
    floor (0.883937835693359 × 131072)
    floor (115859.5)     		ty = 115859
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 122006 / 115859 ti = "17/122006/115859"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/122006/115859.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 122006 ÷ 217
    122006 ÷ 131072     		x = 0.930831909179688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 115859 ÷ 217
    115859 ÷ 131072     		y = 0.883934020996094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.930831909179688 × 2 - 1) × π
    0.861663818359375 × 3.1415926535     		Λ = 2.70699672
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.883934020996094 × 2 - 1) × π
    -0.767868041992188 × 3.1415926535     		Φ = -2.41232859958009
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.70699672} λ = 2.70699672}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.41232859958009))-π/2
    2×atan(0.089606394032271)-π/2
    2×0.089367717112788-π/2
    0.178735434225576-1.57079632675     		φ = -1.39206089
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.70699672} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 155.099487°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.39206089 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.759214°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 122006 KachelY 115859 2.70699672 -1.39206089 155.099487 -79.759214
    Oben rechts KachelX + 1 122007 KachelY 115859 2.70704466 -1.39206089 155.102234 -79.759214
    Unten links KachelX 122006 KachelY + 1 115860 2.70699672 -1.39206941 155.099487 -79.759702
    Unten rechts KachelX + 1 122007 KachelY + 1 115860 2.70704466 -1.39206941 155.102234 -79.759702
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.39206089--1.39206941) × R
    8.51999999995634e-06 × 6371000     		dl = 54.2809199997218m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.39206089--1.39206941) × R
    8.51999999995634e-06 × 6371000     		dr = 54.2809199997218m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.70699672-2.70704466) × cos(-1.39206089) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.177785298079062 × 6371000     		do = 54.3002062273855m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.70699672-2.70704466) × cos(-1.39206941) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.177776913802171 × 6371000     		du = 54.2976454534116m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.39206089)-sin(-1.39206941))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.177785298079062-0.177776913802171)×R²
    abs(2.70704466-2.70699672)×8.38427689112131e-06×R²
    4.79400000004127e-05×8.38427689112131e-06×6371000²
    4.79400000004127e-05×8.38427689112131e-06×40589641000000     		ar = 2947.39564966119m²