Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 122001 / 115727
↖ ↑ ↗
← S 79.694557°
E155.085755°		 ← 54.63 m → S 79.694557°
E155.088501°		 →
↑
54.60 m
↓
↑
54.60 m
↓
S 79.695048°
E155.085755°		 ← 54.63 m →
2 983 m²		 S 79.695048°
E155.088501°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 122001 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 115727 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.930797576904297 y=0.882930755615234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.930797576904297 × 217)
    floor (0.930797576904297 × 131072)
    floor (122001.5)     		tx = 122001
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.882930755615234 × 217)
    floor (0.882930755615234 × 131072)
    floor (115727.5)     		ty = 115727
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 122001 / 115727 ti = "17/122001/115727"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/122001/115727.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 122001 ÷ 217
    122001 ÷ 131072     		x = 0.930793762207031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 115727 ÷ 217
    115727 ÷ 131072     		y = 0.882926940917969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.930793762207031 × 2 - 1) × π
    0.861587524414062 × 3.1415926535     		Λ = 2.70675704
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.882926940917969 × 2 - 1) × π
    -0.765853881835938 × 3.1415926535     		Φ = -2.40600092883024
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.70675704} λ = 2.70675704}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.40600092883024))-π/2
    2×atan(0.0901751914743983)-π/2
    2×0.0899319552955825-π/2
    0.179863910591165-1.57079632675     		φ = -1.39093242
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.70675704} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 155.085755°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.39093242 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.694557°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 122001 KachelY 115727 2.70675704 -1.39093242 155.085755 -79.694557
    Oben rechts KachelX + 1 122002 KachelY 115727 2.70680497 -1.39093242 155.088501 -79.694557
    Unten links KachelX 122001 KachelY + 1 115728 2.70675704 -1.39094099 155.085755 -79.695048
    Unten rechts KachelX + 1 122002 KachelY + 1 115728 2.70680497 -1.39094099 155.088501 -79.695048
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.39093242--1.39094099) × R
    8.57000000009656e-06 × 6371000     		dl = 54.5994700006152m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.39093242--1.39094099) × R
    8.57000000009656e-06 × 6371000     		dr = 54.5994700006152m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.70675704-2.70680497) × cos(-1.39093242) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.17889567732683 × 6371000     		do = 54.6279471867791m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.70675704-2.70680497) × cos(-1.39094099) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.178887245571085 × 6371000     		du = 54.6253724487286m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.39093242)-sin(-1.39094099))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.17889567732683-0.178887245571085)×R²
    abs(2.70680497-2.70675704)×8.43175574416488e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.43175574416488e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.43175574416488e-06×40589641000000     		ar = 2982.58667397605m²