Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 122000 / 115888
↖ ↑ ↗
← S 79.773365°
E155.083008°		 ← 54.23 m → S 79.773365°
E155.085755°		 →
↑
54.22 m
↓
↑
54.22 m
↓
S 79.773853°
E155.083008°		 ← 54.22 m →
2 940 m²		 S 79.773853°
E155.085755°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 122000 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 115888 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.930789947509766 y=0.884159088134766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.930789947509766 × 217)
    floor (0.930789947509766 × 131072)
    floor (122000.5)     		tx = 122000
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.884159088134766 × 217)
    floor (0.884159088134766 × 131072)
    floor (115888.5)     		ty = 115888
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 122000 / 115888 ti = "17/122000/115888"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/122000/115888.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 122000 ÷ 217
    122000 ÷ 131072     		x = 0.9307861328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 115888 ÷ 217
    115888 ÷ 131072     		y = 0.8841552734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9307861328125 × 2 - 1) × π
    0.861572265625 × 3.1415926535     		Λ = 2.70670910
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.8841552734375 × 2 - 1) × π
    -0.768310546875 × 3.1415926535     		Φ = -2.41371876966907
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.70670910} λ = 2.70670910}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.41371876966907))-π/2
    2×atan(0.0894819124488403)-π/2
    2×0.0892442257028248-π/2
    0.17848845140565-1.57079632675     		φ = -1.39230788
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.70670910} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 155.083008°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.39230788 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.773365°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 122000 KachelY 115888 2.70670910 -1.39230788 155.083008 -79.773365
    Oben rechts KachelX + 1 122001 KachelY 115888 2.70675704 -1.39230788 155.085755 -79.773365
    Unten links KachelX 122000 KachelY + 1 115889 2.70670910 -1.39231639 155.083008 -79.773853
    Unten rechts KachelX + 1 122001 KachelY + 1 115889 2.70675704 -1.39231639 155.085755 -79.773853
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.39230788--1.39231639) × R
    8.51000000001711e-06 × 6371000     		dl = 54.217210000109m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.39230788--1.39231639) × R
    8.51000000001711e-06 × 6371000     		dr = 54.217210000109m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.70670910-2.70675704) × cos(-1.39230788) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.17754223738224 × 6371000     		do = 54.2259692336909m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.70670910-2.70675704) × cos(-1.39231639) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.177533862572637 × 6371000     		du = 54.2234113512705m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.39230788)-sin(-1.39231639))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.17754223738224-0.177533862572637)×R²
    abs(2.70675704-2.70670910)×8.3748096030567e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.3748096030567e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.3748096030567e-06×40589641000000     		ar = 2939.91142072992m²