Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 121998 / 115886
↖ ↑ ↗
← S 79.772390°
E155.077515°		 ← 54.22 m → S 79.772390°
E155.080261°		 →
↑
54.22 m
↓
↑
54.22 m
↓
S 79.772877°
E155.077515°		 ← 54.22 m →
2 940 m²		 S 79.772877°
E155.080261°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 121998 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 115886 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.930774688720703 y=0.884143829345703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.930774688720703 × 217)
    floor (0.930774688720703 × 131072)
    floor (121998.5)     		tx = 121998
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.884143829345703 × 217)
    floor (0.884143829345703 × 131072)
    floor (115886.5)     		ty = 115886
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 121998 / 115886 ti = "17/121998/115886"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/121998/115886.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 121998 ÷ 217
    121998 ÷ 131072     		x = 0.930770874023438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 115886 ÷ 217
    115886 ÷ 131072     		y = 0.884140014648438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.930770874023438 × 2 - 1) × π
    0.861541748046875 × 3.1415926535     		Λ = 2.70661323
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.884140014648438 × 2 - 1) × π
    -0.768280029296875 × 3.1415926535     		Φ = -2.41362289586983
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.70661323} λ = 2.70661323}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.41362289586983))-π/2
    2×atan(0.0894904918310124)-π/2
    2×0.0892527369289672-π/2
    0.178505473857934-1.57079632675     		φ = -1.39229085
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.70661323} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 155.077515°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.39229085 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.772390°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 121998 KachelY 115886 2.70661323 -1.39229085 155.077515 -79.772390
    Oben rechts KachelX + 1 121999 KachelY 115886 2.70666116 -1.39229085 155.080261 -79.772390
    Unten links KachelX 121998 KachelY + 1 115887 2.70661323 -1.39229936 155.077515 -79.772877
    Unten rechts KachelX + 1 121999 KachelY + 1 115887 2.70666116 -1.39229936 155.080261 -79.772877
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.39229085--1.39229936) × R
    8.51000000001711e-06 × 6371000     		dl = 54.217210000109m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.39229085--1.39229936) × R
    8.51000000001711e-06 × 6371000     		dr = 54.217210000109m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.70661323-2.70666116) × cos(-1.39229085) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.177558996803974 × 6371000     		do = 54.2197757088584m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.70661323-2.70666116) × cos(-1.39229936) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.177550622020102 × 6371000     		du = 54.2172183678544m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.39229085)-sin(-1.39229936))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.177558996803974-0.177550622020102)×R²
    abs(2.70666116-2.70661323)×8.37478387205604e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.37478387205604e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.37478387205604e-06×40589641000000     		ar = 2939.57563979775m²