Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 121995 / 115880
↖ ↑ ↗
← S 79.769463°
E155.069275°		 ← 54.24 m → S 79.769463°
E155.072021°		 →
↑
54.22 m
↓
↑
54.22 m
↓
S 79.769951°
E155.069275°		 ← 54.23 m →
2 940 m²		 S 79.769951°
E155.072021°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 121995 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 115880 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.930751800537109 y=0.884098052978516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.930751800537109 × 217)
    floor (0.930751800537109 × 131072)
    floor (121995.5)     		tx = 121995
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.884098052978516 × 217)
    floor (0.884098052978516 × 131072)
    floor (115880.5)     		ty = 115880
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 121995 / 115880 ti = "17/121995/115880"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/121995/115880.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 121995 ÷ 217
    121995 ÷ 131072     		x = 0.930747985839844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 115880 ÷ 217
    115880 ÷ 131072     		y = 0.88409423828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.930747985839844 × 2 - 1) × π
    0.861495971679688 × 3.1415926535     		Λ = 2.70646942
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.88409423828125 × 2 - 1) × π
    -0.7681884765625 × 3.1415926535     		Φ = -2.41333527447211
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.70646942} λ = 2.70646942}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.41333527447211))-π/2
    2×atan(0.0895162349133088)-π/2
    2×0.0892782754261396-π/2
    0.178556550852279-1.57079632675     		φ = -1.39223978
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.70646942} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 155.069275°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.39223978 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.769463°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 121995 KachelY 115880 2.70646942 -1.39223978 155.069275 -79.769463
    Oben rechts KachelX + 1 121996 KachelY 115880 2.70651735 -1.39223978 155.072021 -79.769463
    Unten links KachelX 121995 KachelY + 1 115881 2.70646942 -1.39224829 155.069275 -79.769951
    Unten rechts KachelX + 1 121996 KachelY + 1 115881 2.70651735 -1.39224829 155.072021 -79.769951
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.39223978--1.39224829) × R
    8.51000000001711e-06 × 6371000     		dl = 54.217210000109m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.39223978--1.39224829) × R
    8.51000000001711e-06 × 6371000     		dr = 54.217210000109m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.70646942-2.70651735) × cos(-1.39223978) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.177609255078161 × 6371000     		do = 54.2351226774882m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.70646942-2.70651735) × cos(-1.39224829) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.177600880371466 × 6371000     		du = 54.2325653600512m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.39223978)-sin(-1.39224829))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.177609255078161-0.177600880371466)×R²
    abs(2.70651735-2.70646942)×8.37470669481921e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.37470669481921e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.37470669481921e-06×40589641000000     		ar = 2940.40771019634m²