Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 121976 / 115868
↖ ↑ ↗
← S 79.763608°
E155.017090°		 ← 54.28 m → S 79.763608°
E155.019836°		 →
↑
54.28 m
↓
↑
54.28 m
↓
S 79.764096°
E155.017090°		 ← 54.27 m →
2 946 m²		 S 79.764096°
E155.019836°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 121976 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 115868 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.930606842041016 y=0.884006500244141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.930606842041016 × 217)
    floor (0.930606842041016 × 131072)
    floor (121976.5)     		tx = 121976
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.884006500244141 × 217)
    floor (0.884006500244141 × 131072)
    floor (115868.5)     		ty = 115868
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 121976 / 115868 ti = "17/121976/115868"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/121976/115868.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 121976 ÷ 217
    121976 ÷ 131072     		x = 0.93060302734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 115868 ÷ 217
    115868 ÷ 131072     		y = 0.884002685546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.93060302734375 × 2 - 1) × π
    0.8612060546875 × 3.1415926535     		Λ = 2.70555861
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.884002685546875 × 2 - 1) × π
    -0.76800537109375 × 3.1415926535     		Φ = -2.41276003167667
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.70555861} λ = 2.70555861}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.41276003167667))-π/2
    2×atan(0.0895677432960103)-π/2
    2×0.0893293741114359-π/2
    0.178658748222872-1.57079632675     		φ = -1.39213758
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.70555861} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 155.017090°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.39213758 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.763608°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 121976 KachelY 115868 2.70555861 -1.39213758 155.017090 -79.763608
    Oben rechts KachelX + 1 121977 KachelY 115868 2.70560655 -1.39213758 155.019836 -79.763608
    Unten links KachelX 121976 KachelY + 1 115869 2.70555861 -1.39214610 155.017090 -79.764096
    Unten rechts KachelX + 1 121977 KachelY + 1 115869 2.70560655 -1.39214610 155.019836 -79.764096
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.39213758--1.39214610) × R
    8.51999999995634e-06 × 6371000     		dl = 54.2809199997218m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.39213758--1.39214610) × R
    8.51999999995634e-06 × 6371000     		dr = 54.2809199997218m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.70555861-2.70560655) × cos(-1.39213758) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.177709829281687 × 6371000     		do = 54.2771561135973m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.70555861-2.70560655) × cos(-1.39214610) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.177701444888658 × 6371000     		du = 54.2745953041521m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.39213758)-sin(-1.39214610))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.177709829281687-0.177701444888658)×R²
    abs(2.70560655-2.70555861)×8.38439302844329e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.38439302844329e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.38439302844329e-06×40589641000000     		ar = 2946.14446729817m²