Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 121975 / 115931
↖ ↑ ↗
← S 79.794312°
E155.014343°		 ← 54.10 m → S 79.794312°
E155.017090°		 →
↑
54.09 m
↓
↑
54.09 m
↓
S 79.794799°
E155.014343°		 ← 54.10 m →
2 926 m²		 S 79.794799°
E155.017090°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 121975 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 115931 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.930599212646484 y=0.884487152099609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.930599212646484 × 217)
    floor (0.930599212646484 × 131072)
    floor (121975.5)     		tx = 121975
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.884487152099609 × 217)
    floor (0.884487152099609 × 131072)
    floor (115931.5)     		ty = 115931
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 121975 / 115931 ti = "17/121975/115931"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/121975/115931.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 121975 ÷ 217
    121975 ÷ 131072     		x = 0.930595397949219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 115931 ÷ 217
    115931 ÷ 131072     		y = 0.884483337402344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.930595397949219 × 2 - 1) × π
    0.861190795898438 × 3.1415926535     		Λ = 2.70551068
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.884483337402344 × 2 - 1) × π
    -0.768966674804688 × 3.1415926535     		Φ = -2.41578005635273
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.70551068} λ = 2.70551068}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.41578005635273))-π/2
    2×atan(0.0892976545437051)-π/2
    2×0.089061428445777-π/2
    0.178122856891554-1.57079632675     		φ = -1.39267347
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.70551068} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 155.014343°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.39267347 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.794312°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 121975 KachelY 115931 2.70551068 -1.39267347 155.014343 -79.794312
    Oben rechts KachelX + 1 121976 KachelY 115931 2.70555861 -1.39267347 155.017090 -79.794312
    Unten links KachelX 121975 KachelY + 1 115932 2.70551068 -1.39268196 155.014343 -79.794799
    Unten rechts KachelX + 1 121976 KachelY + 1 115932 2.70555861 -1.39268196 155.017090 -79.794799
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.39267347--1.39268196) × R
    8.48999999991662e-06 × 6371000     		dl = 54.0897899994688m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.39267347--1.39268196) × R
    8.48999999991662e-06 × 6371000     		dr = 54.0897899994688m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.70551068-2.70555861) × cos(-1.39267347) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.177182443587444 × 6371000     		do = 54.1047906542555m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.70551068-2.70555861) × cos(-1.39268196) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.17717408790964 × 6371000     		du = 54.1022391475192m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.39267347)-sin(-1.39268196))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.177182443587444-0.17717408790964)×R²
    abs(2.70555861-2.70551068)×8.35567780391178e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.35567780391178e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.35567780391178e-06×40589641000000     		ar = 2926.44775928893m²