Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 121974 / 115866
↖ ↑ ↗
← S 79.762632°
E155.011597°		 ← 54.28 m → S 79.762632°
E155.014343°		 →
↑
54.28 m
↓
↑
54.28 m
↓
S 79.763120°
E155.011597°		 ← 54.28 m →
2 946 m²		 S 79.763120°
E155.014343°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 121974 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 115866 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.930591583251953 y=0.883991241455078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.930591583251953 × 217)
    floor (0.930591583251953 × 131072)
    floor (121974.5)     		tx = 121974
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.883991241455078 × 217)
    floor (0.883991241455078 × 131072)
    floor (115866.5)     		ty = 115866
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 121974 / 115866 ti = "17/121974/115866"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/121974/115866.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 121974 ÷ 217
    121974 ÷ 131072     		x = 0.930587768554688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 115866 ÷ 217
    115866 ÷ 131072     		y = 0.883987426757812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.930587768554688 × 2 - 1) × π
    0.861175537109375 × 3.1415926535     		Λ = 2.70546274
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.883987426757812 × 2 - 1) × π
    -0.767974853515625 × 3.1415926535     		Φ = -2.41266415787743
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.70546274} λ = 2.70546274}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.41266415787743))-π/2
    2×atan(0.0895763309075063)-π/2
    2×0.0893378933716309-π/2
    0.178675786743262-1.57079632675     		φ = -1.39212054
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.70546274} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 155.011597°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.39212054 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.762632°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 121974 KachelY 115866 2.70546274 -1.39212054 155.011597 -79.762632
    Oben rechts KachelX + 1 121975 KachelY 115866 2.70551068 -1.39212054 155.014343 -79.762632
    Unten links KachelX 121974 KachelY + 1 115867 2.70546274 -1.39212906 155.011597 -79.763120
    Unten rechts KachelX + 1 121975 KachelY + 1 115867 2.70551068 -1.39212906 155.014343 -79.763120
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.39212054--1.39212906) × R
    8.51999999995634e-06 × 6371000     		dl = 54.2809199997218m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.39212054--1.39212906) × R
    8.51999999995634e-06 × 6371000     		dr = 54.2809199997218m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.70546274-2.70551068) × cos(-1.39212054) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.177726598029043 × 6371000     		do = 54.2822777206674m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.70546274-2.70551068) × cos(-1.39212906) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.177718213661815 × 6371000     		du = 54.2797169191024m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.39212054)-sin(-1.39212906))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.177726598029043-0.177718213661815)×R²
    abs(2.70551068-2.70546274)×8.38436722777613e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.38436722777613e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.38436722777613e-06×40589641000000     		ar = 2946.42247303564m²