Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12197 / 20337
↖ ↑ ↗
← S 39.783213°
W 45.999756°		 ← 938.75 m → S 39.783213°
W 45.988770°		 →
↑
938.70 m
↓
↑
938.70 m
↓
S 39.791655°
W 45.999756°		 ← 938.63 m →
881 149 m²		 S 39.791655°
W 45.988770°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12197 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20337 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.372238159179688 y=0.620651245117188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.372238159179688 × 215)
    floor (0.372238159179688 × 32768)
    floor (12197.5)     		tx = 12197
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.620651245117188 × 215)
    floor (0.620651245117188 × 32768)
    floor (20337.5)     		ty = 20337
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12197 / 20337 ti = "15/12197/20337"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12197/20337.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12197 ÷ 215
    12197 ÷ 32768     		x = 0.372222900390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20337 ÷ 215
    20337 ÷ 32768     		y = 0.620635986328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.372222900390625 × 2 - 1) × π
    -0.25555419921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.80284719
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.620635986328125 × 2 - 1) × π
    -0.24127197265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.757978256792328
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.80284719} λ = -0.80284719}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.757978256792328))-π/2
    2×atan(0.468612884857152)-π/2
    2×0.438224139277753-π/2
    0.876448278555506-1.57079632675     		φ = -0.69434805
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.80284719} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.999756°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.69434805 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.783213°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12197 KachelY 20337 -0.80284719 -0.69434805 -45.999756 -39.783213
    Oben rechts KachelX + 1 12198 KachelY 20337 -0.80265545 -0.69434805 -45.988770 -39.783213
    Unten links KachelX 12197 KachelY + 1 20338 -0.80284719 -0.69449539 -45.999756 -39.791655
    Unten rechts KachelX + 1 12198 KachelY + 1 20338 -0.80265545 -0.69449539 -45.988770 -39.791655
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.69434805--0.69449539) × R
    0.000147340000000051 × 6371000     		dl = 938.703140000327m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.69434805--0.69449539) × R
    0.000147340000000051 × 6371000     		dr = 938.703140000327m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.80284719--0.80265545) × cos(-0.69434805) × R
    0.000191739999999996 × 0.768471037823488 × 6371000     		do = 938.745423003568m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.80284719--0.80265545) × cos(-0.69449539) × R
    0.000191739999999996 × 0.768376748889761 × 6371000     		du = 938.630241948433m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.69434805)-sin(-0.69449539))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.768471037823488-0.768376748889761)×R²
    abs(-0.80265545--0.80284719)×9.42889337275377e-05×R²
    0.000191739999999996×9.42889337275377e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.42889337275377e-05×40589641000000     		ar = 881149.217419189m²