Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12197 / 20325
↖ ↑ ↗
← S 39.681826°
W 45.999756°		 ← 940.13 m → S 39.681826°
W 45.988770°		 →
↑
940.10 m
↓
↑
940.10 m
↓
S 39.690281°
W 45.999756°		 ← 940.01 m →
883 764 m²		 S 39.690281°
W 45.988770°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12197 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20325 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.372238159179688 y=0.620285034179688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.372238159179688 × 215)
    floor (0.372238159179688 × 32768)
    floor (12197.5)     		tx = 12197
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.620285034179688 × 215)
    floor (0.620285034179688 × 32768)
    floor (20325.5)     		ty = 20325
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12197 / 20325 ti = "15/12197/20325"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12197/20325.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12197 ÷ 215
    12197 ÷ 32768     		x = 0.372222900390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20325 ÷ 215
    20325 ÷ 32768     		y = 0.620269775390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.372222900390625 × 2 - 1) × π
    -0.25555419921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.80284719
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.620269775390625 × 2 - 1) × π
    -0.24053955078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.755677285610565
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.80284719} λ = -0.80284719}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.755677285610565))-π/2
    2×atan(0.469692391080682)-π/2
    2×0.439108904858949-π/2
    0.878217809717898-1.57079632675     		φ = -0.69257852
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.80284719} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.999756°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.69257852 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.681826°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12197 KachelY 20325 -0.80284719 -0.69257852 -45.999756 -39.681826
    Oben rechts KachelX + 1 12198 KachelY 20325 -0.80265545 -0.69257852 -45.988770 -39.681826
    Unten links KachelX 12197 KachelY + 1 20326 -0.80284719 -0.69272608 -45.999756 -39.690281
    Unten rechts KachelX + 1 12198 KachelY + 1 20326 -0.80265545 -0.69272608 -45.988770 -39.690281
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.69257852--0.69272608) × R
    0.000147560000000047 × 6371000     		dl = 940.104760000297m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.69257852--0.69272608) × R
    0.000147560000000047 × 6371000     		dr = 940.104760000297m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.80284719--0.80265545) × cos(-0.69257852) × R
    0.000191739999999996 × 0.769602129045314 × 6371000     		do = 940.127136373658m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.80284719--0.80265545) × cos(-0.69272608) × R
    0.000191739999999996 × 0.769507900104354 × 6371000     		du = 940.012028604222m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.69257852)-sin(-0.69272608))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.769602129045314-0.769507900104354)×R²
    abs(-0.80265545--0.80284719)×9.42289409598951e-05×R²
    0.000191739999999996×9.42289409598951e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.42289409598951e-05×40589641000000     		ar = 883763.890832809m²