Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 121958 / 28518
↖ ↑ ↗
← N 70.752534°
E154.967651°		 ← 100.68 m → N 70.752534°
E154.970398°		 →
↑
100.66 m
↓
↑
100.66 m
↓
N 70.751629°
E154.967651°		 ← 100.69 m →
10 135 m²		 N 70.751629°
E154.970398°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 121958 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28518 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.930469512939453 y=0.217578887939453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.930469512939453 × 217)
    floor (0.930469512939453 × 131072)
    floor (121958.5)     		tx = 121958
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.217578887939453 × 217)
    floor (0.217578887939453 × 131072)
    floor (28518.5)     		ty = 28518
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 121958 / 28518 ti = "17/121958/28518"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/121958/28518.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 121958 ÷ 217
    121958 ÷ 131072     		x = 0.930465698242188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28518 ÷ 217
    28518 ÷ 131072     		y = 0.217575073242188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.930465698242188 × 2 - 1) × π
    0.860931396484375 × 3.1415926535     		Λ = 2.70469575
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.217575073242188 × 2 - 1) × π
    0.564849853515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.77452815013524
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.70469575} λ = 2.70469575}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.77452815013524))-π/2
    2×atan(5.89749774618556)-π/2
    2×1.40283049888567-π/2
    2.80566099777133-1.57079632675     		φ = 1.23486467
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.70469575} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 154.967651°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23486467 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.752534°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 121958 KachelY 28518 2.70469575 1.23486467 154.967651 70.752534
    Oben rechts KachelX + 1 121959 KachelY 28518 2.70474369 1.23486467 154.970398 70.752534
    Unten links KachelX 121958 KachelY + 1 28519 2.70469575 1.23484887 154.967651 70.751629
    Unten rechts KachelX + 1 121959 KachelY + 1 28519 2.70474369 1.23484887 154.970398 70.751629
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23486467-1.23484887) × R
    1.58000000001213e-05 × 6371000     		dl = 100.661800000773m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23486467-1.23484887) × R
    1.58000000001213e-05 × 6371000     		dr = 100.661800000773m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.70469575-2.70474369) × cos(1.23486467) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.329648893345515 × 6371000     		do = 100.683257190169m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.70469575-2.70474369) × cos(1.23484887) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.329663810141245 × 6371000     		du = 100.687813163543m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23486467)-sin(1.23484887))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.329648893345515-0.329663810141245)×R²
    abs(2.70474369-2.70469575)×1.49167957292362e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.49167957292362e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.49167957292362e-05×40589641000000     		ar = 10135.1872051359m²