Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 121958 / 28516
↖ ↑ ↗
← N 70.754344°
E154.967651°		 ← 100.67 m → N 70.754344°
E154.970398°		 →
↑
100.66 m
↓
↑
100.66 m
↓
N 70.753439°
E154.967651°		 ← 100.68 m →
10 134 m²		 N 70.753439°
E154.970398°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 121958 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28516 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.930469512939453 y=0.217563629150391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.930469512939453 × 217)
    floor (0.930469512939453 × 131072)
    floor (121958.5)     		tx = 121958
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.217563629150391 × 217)
    floor (0.217563629150391 × 131072)
    floor (28516.5)     		ty = 28516
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 121958 / 28516 ti = "17/121958/28516"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/121958/28516.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 121958 ÷ 217
    121958 ÷ 131072     		x = 0.930465698242188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28516 ÷ 217
    28516 ÷ 131072     		y = 0.217559814453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.930465698242188 × 2 - 1) × π
    0.860931396484375 × 3.1415926535     		Λ = 2.70469575
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.217559814453125 × 2 - 1) × π
    0.56488037109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.77462402393448
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.70469575} λ = 2.70469575}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.77462402393448))-π/2
    2×atan(5.89806318880563)-π/2
    2×1.40284630051638-π/2
    2.80569260103276-1.57079632675     		φ = 1.23489627
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.70469575} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 154.967651°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23489627 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.754344°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 121958 KachelY 28516 2.70469575 1.23489627 154.967651 70.754344
    Oben rechts KachelX + 1 121959 KachelY 28516 2.70474369 1.23489627 154.970398 70.754344
    Unten links KachelX 121958 KachelY + 1 28517 2.70469575 1.23488047 154.967651 70.753439
    Unten rechts KachelX + 1 121959 KachelY + 1 28517 2.70474369 1.23488047 154.970398 70.753439
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23489627-1.23488047) × R
    1.57999999998992e-05 × 6371000     		dl = 100.661799999358m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23489627-1.23488047) × R
    1.57999999998992e-05 × 6371000     		dr = 100.661799999358m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.70469575-2.70474369) × cos(1.23489627) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.32961905950718 × 6371000     		do = 100.674145168019m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.70469575-2.70474369) × cos(1.23488047) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.329633976467493 × 6371000     		du = 100.678701191661m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23489627)-sin(1.23488047))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.32961905950718-0.329633976467493)×R²
    abs(2.70474369-2.70469575)×1.49169603123611e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.49169603123611e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.49169603123611e-05×40589641000000     		ar = 10134.2699750382m²