Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 121949 / 28514
↖ ↑ ↗
← N 70.756155°
E154.942932°		 ← 100.67 m → N 70.756155°
E154.945679°		 →
↑
100.66 m
↓
↑
100.66 m
↓
N 70.755250°
E154.942932°		 ← 100.67 m →
10 133 m²		 N 70.755250°
E154.945679°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 121949 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28514 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.930400848388672 y=0.217548370361328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.930400848388672 × 217)
    floor (0.930400848388672 × 131072)
    floor (121949.5)     		tx = 121949
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.217548370361328 × 217)
    floor (0.217548370361328 × 131072)
    floor (28514.5)     		ty = 28514
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 121949 / 28514 ti = "17/121949/28514"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/121949/28514.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 121949 ÷ 217
    121949 ÷ 131072     		x = 0.930397033691406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28514 ÷ 217
    28514 ÷ 131072     		y = 0.217544555664062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.930397033691406 × 2 - 1) × π
    0.860794067382812 × 3.1415926535     		Λ = 2.70426432
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.217544555664062 × 2 - 1) × π
    0.564910888671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.77471989773372
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.70426432} λ = 2.70426432}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.77471989773372))-π/2
    2×atan(5.89862868563943)-π/2
    2×1.40286210071686-π/2
    2.80572420143371-1.57079632675     		φ = 1.23492787
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.70426432} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 154.942932°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23492787 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.756155°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 121949 KachelY 28514 2.70426432 1.23492787 154.942932 70.756155
    Oben rechts KachelX + 1 121950 KachelY 28514 2.70431226 1.23492787 154.945679 70.756155
    Unten links KachelX 121949 KachelY + 1 28515 2.70426432 1.23491207 154.942932 70.755250
    Unten rechts KachelX + 1 121950 KachelY + 1 28515 2.70431226 1.23491207 154.945679 70.755250
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23492787-1.23491207) × R
    1.57999999998992e-05 × 6371000     		dl = 100.661799999358m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23492787-1.23491207) × R
    1.57999999998992e-05 × 6371000     		dr = 100.661799999358m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.70426432-2.70431226) × cos(1.23492787) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.329589225339701 × 6371000     		do = 100.665033045339m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.70426432-2.70431226) × cos(1.23491207) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.329604142464582 × 6371000     		du = 100.669589119244m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23492787)-sin(1.23491207))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.329589225339701-0.329604142464582)×R²
    abs(2.70431226-2.70426432)×1.49171248808866e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.49171248808866e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.49171248808866e-05×40589641000000     		ar = 10133.3527347868m²