Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 121935 / 115922
↖ ↑ ↗
← S 79.789931°
E154.904480°		 ← 54.14 m → S 79.789931°
E154.907227°		 →
↑
54.15 m
↓
↑
54.15 m
↓
S 79.790418°
E154.904480°		 ← 54.14 m →
2 932 m²		 S 79.790418°
E154.907227°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 121935 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 115922 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.930294036865234 y=0.884418487548828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.930294036865234 × 217)
    floor (0.930294036865234 × 131072)
    floor (121935.5)     		tx = 121935
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.884418487548828 × 217)
    floor (0.884418487548828 × 131072)
    floor (115922.5)     		ty = 115922
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 121935 / 115922 ti = "17/121935/115922"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/121935/115922.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 121935 ÷ 217
    121935 ÷ 131072     		x = 0.930290222167969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 115922 ÷ 217
    115922 ÷ 131072     		y = 0.884414672851562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.930290222167969 × 2 - 1) × π
    0.860580444335938 × 3.1415926535     		Λ = 2.70359320
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.884414672851562 × 2 - 1) × π
    -0.768829345703125 × 3.1415926535     		Φ = -2.41534862425615
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.70359320} λ = 2.70359320}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.41534862425615))-π/2
    2×atan(0.0893361887298693)-π/2
    2×0.0890996576579193-π/2
    0.178199315315839-1.57079632675     		φ = -1.39259701
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.70359320} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 154.904480°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.39259701 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.789931°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 121935 KachelY 115922 2.70359320 -1.39259701 154.904480 -79.789931
    Oben rechts KachelX + 1 121936 KachelY 115922 2.70364114 -1.39259701 154.907227 -79.789931
    Unten links KachelX 121935 KachelY + 1 115923 2.70359320 -1.39260551 154.904480 -79.790418
    Unten rechts KachelX + 1 121936 KachelY + 1 115923 2.70364114 -1.39260551 154.907227 -79.790418
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.39259701--1.39260551) × R
    8.50000000007789e-06 × 6371000     		dl = 54.1535000004962m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.39259701--1.39260551) × R
    8.50000000007789e-06 × 6371000     		dr = 54.1535000004962m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.70359320-2.70364114) × cos(-1.39259701) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.177257693321122 × 6371000     		do = 54.1390621537626m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.70359320-2.70364114) × cos(-1.39260551) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.177249327916697 × 6371000     		du = 54.1365071439257m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.39259701)-sin(-1.39260551))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.177257693321122-0.177249327916697)×R²
    abs(2.70364114-2.70359320)×8.36540442494815e-06×R²
    4.79400000004127e-05×8.36540442494815e-06×6371000²
    4.79400000004127e-05×8.36540442494815e-06×40589641000000     		ar = 2931.75052090593m²