Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 121934 / 115923
↖ ↑ ↗
← S 79.790418°
E154.901733°		 ← 54.14 m → S 79.790418°
E154.904480°		 →
↑
54.15 m
↓
↑
54.15 m
↓
S 79.790905°
E154.901733°		 ← 54.13 m →
2 932 m²		 S 79.790905°
E154.904480°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 121934 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 115923 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.930286407470703 y=0.884426116943359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.930286407470703 × 217)
    floor (0.930286407470703 × 131072)
    floor (121934.5)     		tx = 121934
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.884426116943359 × 217)
    floor (0.884426116943359 × 131072)
    floor (115923.5)     		ty = 115923
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 121934 / 115923 ti = "17/121934/115923"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/121934/115923.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 121934 ÷ 217
    121934 ÷ 131072     		x = 0.930282592773438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 115923 ÷ 217
    115923 ÷ 131072     		y = 0.884422302246094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.930282592773438 × 2 - 1) × π
    0.860565185546875 × 3.1415926535     		Λ = 2.70354526
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.884422302246094 × 2 - 1) × π
    -0.768844604492188 × 3.1415926535     		Φ = -2.41539656115577
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.70354526} λ = 2.70354526}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.41539656115577))-π/2
    2×atan(0.0893319063326009)-π/2
    2×0.0890954091660464-π/2
    0.178190818332093-1.57079632675     		φ = -1.39260551
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.70354526} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 154.901733°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.39260551 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.790418°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 121934 KachelY 115923 2.70354526 -1.39260551 154.901733 -79.790418
    Oben rechts KachelX + 1 121935 KachelY 115923 2.70359320 -1.39260551 154.904480 -79.790418
    Unten links KachelX 121934 KachelY + 1 115924 2.70354526 -1.39261401 154.901733 -79.790905
    Unten rechts KachelX + 1 121935 KachelY + 1 115924 2.70359320 -1.39261401 154.904480 -79.790905
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.39260551--1.39261401) × R
    8.49999999985585e-06 × 6371000     		dl = 54.1534999990816m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.39260551--1.39261401) × R
    8.49999999985585e-06 × 6371000     		dr = 54.1534999990816m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.70354526-2.70359320) × cos(-1.39260551) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.177249327916697 × 6371000     		do = 54.1365071434242m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.70354526-2.70359320) × cos(-1.39261401) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.177240962499466 × 6371000     		du = 54.133952129676m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.39260551)-sin(-1.39261401))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.177249327916697-0.177240962499466)×R²
    abs(2.70359320-2.70354526)×8.36541723100992e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.36541723100992e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.36541723100992e-06×40589641000000     		ar = 2931.61215801277m²