Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12193 / 12961
↖ ↑ ↗
← S 71.753313°
E 87.912597°		 ← 765.01 m → S 71.753313°
E 87.934570°		 →
↑
764.84 m
↓
↑
764.84 m
↓
S 71.760191°
E 87.912597°		 ← 764.73 m →
585 004 m²		 S 71.760191°
E 87.934570°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12193 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12961 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.744232177734375 y=0.791107177734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.744232177734375 × 214)
    floor (0.744232177734375 × 16384)
    floor (12193.5)     		tx = 12193
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.791107177734375 × 214)
    floor (0.791107177734375 × 16384)
    floor (12961.5)     		ty = 12961
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12193 / 12961 ti = "14/12193/12961"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12193/12961.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12193 ÷ 214
    12193 ÷ 16384     		x = 0.74420166015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12961 ÷ 214
    12961 ÷ 16384     		y = 0.79107666015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.74420166015625 × 2 - 1) × π
    0.4884033203125 × 3.1415926535     		Λ = 1.53436428
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.79107666015625 × 2 - 1) × π
    -0.5821533203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.82888859430438
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.53436428} λ = 1.53436428}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.82888859430438))-π/2
    2×atan(0.160591951438)-π/2
    2×0.159232384565235-π/2
    0.31846476913047-1.57079632675     		φ = -1.25233156
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.53436428} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 87.912597°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.25233156 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.753313°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12193 KachelY 12961 1.53436428 -1.25233156 87.912597 -71.753313
    Oben rechts KachelX + 1 12194 KachelY 12961 1.53474778 -1.25233156 87.934570 -71.753313
    Unten links KachelX 12193 KachelY + 1 12962 1.53436428 -1.25245161 87.912597 -71.760191
    Unten rechts KachelX + 1 12194 KachelY + 1 12962 1.53474778 -1.25245161 87.934570 -71.760191
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.25233156--1.25245161) × R
    0.000120050000000038 × 6371000     		dl = 764.838550000243m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.25233156--1.25245161) × R
    0.000120050000000038 × 6371000     		dr = 764.838550000243m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.53436428-1.53474778) × cos(-1.25233156) × R
    0.000383500000000092 × 0.31310889274794 × 6371000     		do = 765.012225810031m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.53436428-1.53474778) × cos(-1.25245161) × R
    0.000383500000000092 × 0.312994876938216 × 6371000     		du = 764.733653433472m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.25233156)-sin(-1.25245161))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.31310889274794-0.312994876938216)×R²
    abs(1.53474778-1.53436428)×0.000114015809723977×R²
    0.000383500000000092×0.000114015809723977×6371000²
    0.000383500000000092×0.000114015809723977×40589641000000     		ar = 585004.310776782m²