Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12193 / 12834
↖ ↑ ↗
← S 70.859087°
E 87.912597°		 ← 801.13 m → S 70.859087°
E 87.934570°		 →
↑
800.96 m
↓
↑
800.96 m
↓
S 70.866291°
E 87.912597°		 ← 800.84 m →
641 561 m²		 S 70.866291°
E 87.934570°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12193 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12834 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.744232177734375 y=0.783355712890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.744232177734375 × 214)
    floor (0.744232177734375 × 16384)
    floor (12193.5)     		tx = 12193
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.783355712890625 × 214)
    floor (0.783355712890625 × 16384)
    floor (12834.5)     		ty = 12834
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12193 / 12834 ti = "14/12193/12834"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12193/12834.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12193 ÷ 214
    12193 ÷ 16384     		x = 0.74420166015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12834 ÷ 214
    12834 ÷ 16384     		y = 0.7833251953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.74420166015625 × 2 - 1) × π
    0.4884033203125 × 3.1415926535     		Λ = 1.53436428
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7833251953125 × 2 - 1) × π
    -0.566650390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.78018470429041
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.53436428} λ = 1.53436428}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.78018470429041))-π/2
    2×atan(0.168607001955694)-π/2
    2×0.167035975131589-π/2
    0.334071950263178-1.57079632675     		φ = -1.23672438
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.53436428} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 87.912597°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23672438 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.859087°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12193 KachelY 12834 1.53436428 -1.23672438 87.912597 -70.859087
    Oben rechts KachelX + 1 12194 KachelY 12834 1.53474778 -1.23672438 87.934570 -70.859087
    Unten links KachelX 12193 KachelY + 1 12835 1.53436428 -1.23685010 87.912597 -70.866291
    Unten rechts KachelX + 1 12194 KachelY + 1 12835 1.53474778 -1.23685010 87.934570 -70.866291
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23672438--1.23685010) × R
    0.000125719999999996 × 6371000     		dl = 800.962119999973m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23672438--1.23685010) × R
    0.000125719999999996 × 6371000     		dr = 800.962119999973m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.53436428-1.53474778) × cos(-1.23672438) × R
    0.000383500000000092 × 0.327892565403332 × 6371000     		do = 801.132855359998m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.53436428-1.53474778) × cos(-1.23685010) × R
    0.000383500000000092 × 0.327773793240305 × 6371000     		du = 800.842661887674m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23672438)-sin(-1.23685010))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.327892565403332-0.327773793240305)×R²
    abs(1.53474778-1.53436428)×0.000118772163027248×R²
    0.000383500000000092×0.000118772163027248×6371000²
    0.000383500000000092×0.000118772163027248×40589641000000     		ar = 641560.85408708m²