Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12192 / 12833
↖ ↑ ↗
← S 70.851881°
E 87.890625°		 ← 801.40 m → S 70.851881°
E 87.912597°		 →
↑
801.28 m
↓
↑
801.28 m
↓
S 70.859087°
E 87.890625°		 ← 801.11 m →
642 032 m²		 S 70.859087°
E 87.912597°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12192 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12833 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.744171142578125 y=0.783294677734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.744171142578125 × 214)
    floor (0.744171142578125 × 16384)
    floor (12192.5)     		tx = 12192
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.783294677734375 × 214)
    floor (0.783294677734375 × 16384)
    floor (12833.5)     		ty = 12833
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12192 / 12833 ti = "14/12192/12833"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12192/12833.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12192 ÷ 214
    12192 ÷ 16384     		x = 0.744140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12833 ÷ 214
    12833 ÷ 16384     		y = 0.78326416015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.744140625 × 2 - 1) × π
    0.48828125 × 3.1415926535     		Λ = 1.53398079
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.78326416015625 × 2 - 1) × π
    -0.5665283203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.77980120909344
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.53398079} λ = 1.53398079}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.77980120909344))-π/2
    2×atan(0.168671674331098)-π/2
    2×0.167098859134578-π/2
    0.334197718269155-1.57079632675     		φ = -1.23659861
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.53398079} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 87.890625°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23659861 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.851881°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12192 KachelY 12833 1.53398079 -1.23659861 87.890625 -70.851881
    Oben rechts KachelX + 1 12193 KachelY 12833 1.53436428 -1.23659861 87.912597 -70.851881
    Unten links KachelX 12192 KachelY + 1 12834 1.53398079 -1.23672438 87.890625 -70.859087
    Unten rechts KachelX + 1 12193 KachelY + 1 12834 1.53436428 -1.23672438 87.912597 -70.859087
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23659861--1.23672438) × R
    0.000125770000000136 × 6371000     		dl = 801.280670000867m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23659861--1.23672438) × R
    0.000125770000000136 × 6371000     		dr = 801.280670000867m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.53398079-1.53436428) × cos(-1.23659861) × R
    0.000383489999999931 × 0.328011379617537 × 6371000     		do = 801.402253969725m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.53398079-1.53436428) × cos(-1.23672438) × R
    0.000383489999999931 × 0.327892565403332 × 6371000     		du = 801.111965324319m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23659861)-sin(-1.23672438))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.328011379617537-0.327892565403332)×R²
    abs(1.53436428-1.53398079)×0.000118814214204455×R²
    0.000383489999999931×0.000118814214204455×6371000²
    0.000383489999999931×0.000118814214204455×40589641000000     		ar = 642031.834506344m²