Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12190 / 20336
↖ ↑ ↗
← S 39.774770°
W 46.076660°		 ← 938.91 m → S 39.774770°
W 46.065674°		 →
↑
938.83 m
↓
↑
938.83 m
↓
S 39.783213°
W 46.076660°		 ← 938.79 m →
881 423 m²		 S 39.783213°
W 46.065674°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12190 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20336 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.372024536132812 y=0.620620727539062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.372024536132812 × 215)
    floor (0.372024536132812 × 32768)
    floor (12190.5)     		tx = 12190
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.620620727539062 × 215)
    floor (0.620620727539062 × 32768)
    floor (20336.5)     		ty = 20336
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12190 / 20336 ti = "15/12190/20336"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12190/20336.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12190 ÷ 215
    12190 ÷ 32768     		x = 0.37200927734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20336 ÷ 215
    20336 ÷ 32768     		y = 0.62060546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.37200927734375 × 2 - 1) × π
    -0.2559814453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.80418943
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.62060546875 × 2 - 1) × π
    -0.2412109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.757786509193848
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.80418943} λ = -0.80418943}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.757786509193848))-π/2
    2×atan(0.468702748867769)-π/2
    2×0.438297820035683-π/2
    0.876595640071367-1.57079632675     		φ = -0.69420069
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.80418943} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -46.076660°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.69420069 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.774770°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12190 KachelY 20336 -0.80418943 -0.69420069 -46.076660 -39.774770
    Oben rechts KachelX + 1 12191 KachelY 20336 -0.80399768 -0.69420069 -46.065674 -39.774770
    Unten links KachelX 12190 KachelY + 1 20337 -0.80418943 -0.69434805 -46.076660 -39.783213
    Unten rechts KachelX + 1 12191 KachelY + 1 20337 -0.80399768 -0.69434805 -46.065674 -39.783213
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.69420069--0.69434805) × R
    0.000147360000000041 × 6371000     		dl = 938.83056000026m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.69420069--0.69434805) × R
    0.000147360000000041 × 6371000     		dr = 938.83056000026m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.80418943--0.80399768) × cos(-0.69420069) × R
    0.000191749999999935 × 0.768565322869847 × 6371000     		do = 938.909564606409m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.80418943--0.80399768) × cos(-0.69434805) × R
    0.000191749999999935 × 0.768471037823488 × 6371000     		du = 938.79438229309m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.69420069)-sin(-0.69434805))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.768565322869847-0.768471037823488)×R²
    abs(-0.80399768--0.80418943)×9.42850463583333e-05×R²
    0.000191749999999935×9.42850463583333e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.42850463583333e-05×40589641000000     		ar = 881422.925586526m²