Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12190 / 20307
↖ ↑ ↗
← S 39.529466°
W 46.076660°		 ← 942.25 m → S 39.529466°
W 46.065674°		 →
↑
942.21 m
↓
↑
942.21 m
↓
S 39.537940°
W 46.076660°		 ← 942.13 m →
887 738 m²		 S 39.537940°
W 46.065674°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12190 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20307 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.372024536132812 y=0.619735717773438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.372024536132812 × 215)
    floor (0.372024536132812 × 32768)
    floor (12190.5)     		tx = 12190
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.619735717773438 × 215)
    floor (0.619735717773438 × 32768)
    floor (20307.5)     		ty = 20307
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12190 / 20307 ti = "15/12190/20307"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12190/20307.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12190 ÷ 215
    12190 ÷ 32768     		x = 0.37200927734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20307 ÷ 215
    20307 ÷ 32768     		y = 0.619720458984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.37200927734375 × 2 - 1) × π
    -0.2559814453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.80418943
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.619720458984375 × 2 - 1) × π
    -0.23944091796875 × 3.1415926535     		Φ = -0.752225828837921
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.80418943} λ = -0.80418943}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.752225828837921))-π/2
    2×atan(0.471316314904287)-π/2
    2×0.44043849209674-π/2
    0.880876984193479-1.57079632675     		φ = -0.68991934
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.80418943} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -46.076660°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.68991934 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.529466°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12190 KachelY 20307 -0.80418943 -0.68991934 -46.076660 -39.529466
    Oben rechts KachelX + 1 12191 KachelY 20307 -0.80399768 -0.68991934 -46.065674 -39.529466
    Unten links KachelX 12190 KachelY + 1 20308 -0.80418943 -0.69006723 -46.076660 -39.537940
    Unten rechts KachelX + 1 12191 KachelY + 1 20308 -0.80399768 -0.69006723 -46.065674 -39.537940
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.68991934--0.69006723) × R
    0.000147890000000039 × 6371000     		dl = 942.207190000251m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.68991934--0.69006723) × R
    0.000147890000000039 × 6371000     		dr = 942.207190000251m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.80418943--0.80399768) × cos(-0.68991934) × R
    0.000191749999999935 × 0.771297355577292 × 6371000     		do = 942.247122994107m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.80418943--0.80399768) × cos(-0.69006723) × R
    0.000191749999999935 × 0.771203218859411 × 6371000     		du = 942.132121884677m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.68991934)-sin(-0.69006723))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.771297355577292-0.771203218859411)×R²
    abs(-0.80399768--0.80418943)×9.41367178809438e-05×R²
    0.000191749999999935×9.41367178809438e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.41367178809438e-05×40589641000000     		ar = 887737.83822342m²