Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12189 / 20308
↖ ↑ ↗
← S 39.537940°
W 46.087647°		 ← 942.13 m → S 39.537940°
W 46.076660°		 →
↑
942.08 m
↓
↑
942.08 m
↓
S 39.546412°
W 46.087647°		 ← 942.02 m →
887 509 m²		 S 39.546412°
W 46.076660°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12189 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20308 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.371994018554688 y=0.619766235351562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.371994018554688 × 215)
    floor (0.371994018554688 × 32768)
    floor (12189.5)     		tx = 12189
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.619766235351562 × 215)
    floor (0.619766235351562 × 32768)
    floor (20308.5)     		ty = 20308
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12189 / 20308 ti = "15/12189/20308"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12189/20308.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12189 ÷ 215
    12189 ÷ 32768     		x = 0.371978759765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20308 ÷ 215
    20308 ÷ 32768     		y = 0.6197509765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.371978759765625 × 2 - 1) × π
    -0.25604248046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.80438118
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6197509765625 × 2 - 1) × π
    -0.239501953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.752417576436401
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.80438118} λ = -0.80438118}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.752417576436401))-π/2
    2×atan(0.471225949796702)-π/2
    2×0.440364549401514-π/2
    0.880729098803028-1.57079632675     		φ = -0.69006723
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.80438118} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -46.087647°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.69006723 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.537940°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12189 KachelY 20308 -0.80438118 -0.69006723 -46.087647 -39.537940
    Oben rechts KachelX + 1 12190 KachelY 20308 -0.80418943 -0.69006723 -46.076660 -39.537940
    Unten links KachelX 12189 KachelY + 1 20309 -0.80438118 -0.69021510 -46.087647 -39.546412
    Unten rechts KachelX + 1 12190 KachelY + 1 20309 -0.80418943 -0.69021510 -46.076660 -39.546412
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.69006723--0.69021510) × R
    0.000147869999999939 × 6371000     		dl = 942.079769999611m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.69006723--0.69021510) × R
    0.000147869999999939 × 6371000     		dr = 942.079769999611m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.80438118--0.80418943) × cos(-0.69006723) × R
    0.000191750000000046 × 0.771203218859411 × 6371000     		do = 942.132121885223m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.80438118--0.80418943) × cos(-0.69021510) × R
    0.000191750000000046 × 0.771109078008257 × 6371000     		du = 942.017115726425m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.69006723)-sin(-0.69021510))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.771203218859411-0.771109078008257)×R²
    abs(-0.80418943--0.80438118)×9.41408511535569e-05×R²
    0.000191750000000046×9.41408511535569e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.41408511535569e-05×40589641000000     		ar = 887509.441824761m²