Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12187 / 20261
↖ ↑ ↗
← S 39.138582°
W 46.109619°		 ← 947.53 m → S 39.138582°
W 46.098633°		 →
↑
947.43 m
↓
↑
947.43 m
↓
S 39.147102°
W 46.109619°		 ← 947.42 m →
897 665 m²		 S 39.147102°
W 46.098633°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12187 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20261 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.371932983398438 y=0.618331909179688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.371932983398438 × 215)
    floor (0.371932983398438 × 32768)
    floor (12187.5)     		tx = 12187
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.618331909179688 × 215)
    floor (0.618331909179688 × 32768)
    floor (20261.5)     		ty = 20261
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12187 / 20261 ti = "15/12187/20261"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12187/20261.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12187 ÷ 215
    12187 ÷ 32768     		x = 0.371917724609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20261 ÷ 215
    20261 ÷ 32768     		y = 0.618316650390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.371917724609375 × 2 - 1) × π
    -0.25616455078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.80476467
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.618316650390625 × 2 - 1) × π
    -0.23663330078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.743405439307831
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.80476467} λ = -0.80476467}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.743405439307831))-π/2
    2×atan(0.475491896450105)-π/2
    2×0.443849603256969-π/2
    0.887699206513939-1.57079632675     		φ = -0.68309712
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.80476467} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -46.109619°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.68309712 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.138582°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12187 KachelY 20261 -0.80476467 -0.68309712 -46.109619 -39.138582
    Oben rechts KachelX + 1 12188 KachelY 20261 -0.80457292 -0.68309712 -46.098633 -39.138582
    Unten links KachelX 12187 KachelY + 1 20262 -0.80476467 -0.68324583 -46.109619 -39.147102
    Unten rechts KachelX + 1 12188 KachelY + 1 20262 -0.80457292 -0.68324583 -46.098633 -39.147102
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.68309712--0.68324583) × R
    0.000148710000000052 × 6371000     		dl = 947.43141000033m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.68309712--0.68324583) × R
    0.000148710000000052 × 6371000     		dr = 947.43141000033m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.80476467--0.80457292) × cos(-0.68309712) × R
    0.000191749999999935 × 0.775621545118759 × 6371000     		do = 947.529722662401m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.80476467--0.80457292) × cos(-0.68324583) × R
    0.000191749999999935 × 0.775527671052463 × 6371000     		du = 947.415042418456m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.68309712)-sin(-0.68324583))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.775621545118759-0.775527671052463)×R²
    abs(-0.80457292--0.80476467)×9.38740662964621e-05×R²
    0.000191749999999935×9.38740662964621e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.38740662964621e-05×40589641000000     		ar = 897665.096981506m²