Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12184 / 20257
↖ ↑ ↗
← S 39.104489°
W 46.142578°		 ← 947.94 m → S 39.104489°
W 46.131592°		 →
↑
947.94 m
↓
↑
947.94 m
↓
S 39.113014°
W 46.142578°		 ← 947.82 m →
898 536 m²		 S 39.113014°
W 46.131592°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12184 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20257 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.371841430664062 y=0.618209838867188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.371841430664062 × 215)
    floor (0.371841430664062 × 32768)
    floor (12184.5)     		tx = 12184
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.618209838867188 × 215)
    floor (0.618209838867188 × 32768)
    floor (20257.5)     		ty = 20257
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12184 / 20257 ti = "15/12184/20257"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12184/20257.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12184 ÷ 215
    12184 ÷ 32768     		x = 0.371826171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20257 ÷ 215
    20257 ÷ 32768     		y = 0.618194580078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.371826171875 × 2 - 1) × π
    -0.25634765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.80533991
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.618194580078125 × 2 - 1) × π
    -0.23638916015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.74263844891391
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.80533991} λ = -0.80533991}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.74263844891391))-π/2
    2×atan(0.475856734062656)-π/2
    2×0.444147122388677-π/2
    0.888294244777354-1.57079632675     		φ = -0.68250208
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.80533991} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -46.142578°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.68250208 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.104489°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12184 KachelY 20257 -0.80533991 -0.68250208 -46.142578 -39.104489
    Oben rechts KachelX + 1 12185 KachelY 20257 -0.80514817 -0.68250208 -46.131592 -39.104489
    Unten links KachelX 12184 KachelY + 1 20258 -0.80533991 -0.68265087 -46.142578 -39.113014
    Unten rechts KachelX + 1 12185 KachelY + 1 20258 -0.80514817 -0.68265087 -46.131592 -39.113014
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.68250208--0.68265087) × R
    0.00014879000000001 × 6371000     		dl = 947.941090000062m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.68250208--0.68265087) × R
    0.00014879000000001 × 6371000     		dr = 947.941090000062m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.80533991--0.80514817) × cos(-0.68250208) × R
    0.000191739999999996 × 0.775996995984427 × 6371000     		do = 947.938949408034m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.80533991--0.80514817) × cos(-0.68265087) × R
    0.000191739999999996 × 0.775903140095939 × 6371000     		du = 947.824297350371m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.68250208)-sin(-0.68265087))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.775996995984427-0.775903140095939)×R²
    abs(-0.80514817--0.80533991)×9.38558884883145e-05×R²
    0.000191739999999996×9.38558884883145e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.38558884883145e-05×40589641000000     		ar = 898535.940914351m²