Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12184 / 12728
↖ ↑ ↗
← S 70.080562°
E 87.714844°		 ← 832.40 m → S 70.080562°
E 87.736816°		 →
↑
832.24 m
↓
↑
832.24 m
↓
S 70.088047°
E 87.714844°		 ← 832.10 m →
692 635 m²		 S 70.088047°
E 87.736816°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12184 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12728 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.743682861328125 y=0.776885986328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.743682861328125 × 214)
    floor (0.743682861328125 × 16384)
    floor (12184.5)     		tx = 12184
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.776885986328125 × 214)
    floor (0.776885986328125 × 16384)
    floor (12728.5)     		ty = 12728
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12184 / 12728 ti = "14/12184/12728"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12184/12728.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12184 ÷ 214
    12184 ÷ 16384     		x = 0.74365234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12728 ÷ 214
    12728 ÷ 16384     		y = 0.77685546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.74365234375 × 2 - 1) × π
    0.4873046875 × 3.1415926535     		Λ = 1.53091283
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.77685546875 × 2 - 1) × π
    -0.5537109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.7395342134126
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.53091283} λ = 1.53091283}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.7395342134126))-π/2
    2×atan(0.175602174708579)-π/2
    2×0.173829887749629-π/2
    0.347659775499258-1.57079632675     		φ = -1.22313655
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.53091283} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 87.714844°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22313655 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.080562°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12184 KachelY 12728 1.53091283 -1.22313655 87.714844 -70.080562
    Oben rechts KachelX + 1 12185 KachelY 12728 1.53129632 -1.22313655 87.736816 -70.080562
    Unten links KachelX 12184 KachelY + 1 12729 1.53091283 -1.22326718 87.714844 -70.088047
    Unten rechts KachelX + 1 12185 KachelY + 1 12729 1.53129632 -1.22326718 87.736816 -70.088047
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22313655--1.22326718) × R
    0.000130629999999909 × 6371000     		dl = 832.243729999423m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22313655--1.22326718) × R
    0.000130629999999909 × 6371000     		dr = 832.243729999423m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.53091283-1.53129632) × cos(-1.22313655) × R
    0.000383490000000153 × 0.340698528676901 × 6371000     		do = 832.399684194976m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.53091283-1.53129632) × cos(-1.22326718) × R
    0.000383490000000153 × 0.340575711024003 × 6371000     		du = 832.099614288941m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22313655)-sin(-1.22326718))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.340698528676901-0.340575711024003)×R²
    abs(1.53129632-1.53091283)×0.000122817652898455×R²
    0.000383490000000153×0.000122817652898455×6371000²
    0.000383490000000153×0.000122817652898455×40589641000000     		ar = 692634.553360275m²