Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12183 / 20311
↖ ↑ ↗
← S 39.563353°
W 46.153564°		 ← 941.79 m → S 39.563353°
W 46.142578°		 →
↑
941.70 m
↓
↑
941.70 m
↓
S 39.571822°
W 46.153564°		 ← 941.67 m →
886 824 m²		 S 39.571822°
W 46.142578°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12183 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20311 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.371810913085938 y=0.619857788085938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.371810913085938 × 215)
    floor (0.371810913085938 × 32768)
    floor (12183.5)     		tx = 12183
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.619857788085938 × 215)
    floor (0.619857788085938 × 32768)
    floor (20311.5)     		ty = 20311
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12183 / 20311 ti = "15/12183/20311"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12183/20311.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12183 ÷ 215
    12183 ÷ 32768     		x = 0.371795654296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20311 ÷ 215
    20311 ÷ 32768     		y = 0.619842529296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.371795654296875 × 2 - 1) × π
    -0.25640869140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.80553166
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.619842529296875 × 2 - 1) × π
    -0.23968505859375 × 3.1415926535     		Φ = -0.752992819231842
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.80553166} λ = -0.80553166}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.752992819231842))-π/2
    2×atan(0.47095495841445)-π/2
    2×0.440142775469223-π/2
    0.880285550938445-1.57079632675     		φ = -0.69051078
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.80553166} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -46.153564°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.69051078 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.563353°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12183 KachelY 20311 -0.80553166 -0.69051078 -46.153564 -39.563353
    Oben rechts KachelX + 1 12184 KachelY 20311 -0.80533991 -0.69051078 -46.142578 -39.563353
    Unten links KachelX 12183 KachelY + 1 20312 -0.80553166 -0.69065859 -46.153564 -39.571822
    Unten rechts KachelX + 1 12184 KachelY + 1 20312 -0.80533991 -0.69065859 -46.142578 -39.571822
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.69051078--0.69065859) × R
    0.00014780999999997 × 6371000     		dl = 941.697509999812m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.69051078--0.69065859) × R
    0.00014780999999997 × 6371000     		dr = 941.697509999812m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.80553166--0.80533991) × cos(-0.69051078) × R
    0.000191749999999935 × 0.77092078394173 × 6371000     		do = 941.787088303669m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.80553166--0.80533991) × cos(-0.69065859) × R
    0.000191749999999935 × 0.770826630744151 × 6371000     		du = 941.672067061993m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.69051078)-sin(-0.69065859))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.77092078394173-0.770826630744151)×R²
    abs(-0.80533991--0.80553166)×9.41531975793275e-05×R²
    0.000191749999999935×9.41531975793275e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.41531975793275e-05×40589641000000     		ar = 886824.400011725m²