Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12181 / 20349
↖ ↑ ↗
← S 39.884450°
W 46.175537°		 ← 937.41 m → S 39.884450°
W 46.164551°		 →
↑
937.30 m
↓
↑
937.30 m
↓
S 39.892880°
W 46.175537°		 ← 937.30 m →
878 583 m²		 S 39.892880°
W 46.164551°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12181 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20349 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.371749877929688 y=0.621017456054688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.371749877929688 × 215)
    floor (0.371749877929688 × 32768)
    floor (12181.5)     		tx = 12181
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.621017456054688 × 215)
    floor (0.621017456054688 × 32768)
    floor (20349.5)     		ty = 20349
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12181 / 20349 ti = "15/12181/20349"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12181/20349.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12181 ÷ 215
    12181 ÷ 32768     		x = 0.371734619140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20349 ÷ 215
    20349 ÷ 32768     		y = 0.621002197265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.371734619140625 × 2 - 1) × π
    -0.25653076171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.80591516
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.621002197265625 × 2 - 1) × π
    -0.24200439453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.760279227974091
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.80591516} λ = -0.80591516}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.760279227974091))-π/2
    2×atan(0.467535859690817)-π/2
    2×0.437340675426871-π/2
    0.874681350853742-1.57079632675     		φ = -0.69611498
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.80591516} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -46.175537°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.69611498 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.884450°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12181 KachelY 20349 -0.80591516 -0.69611498 -46.175537 -39.884450
    Oben rechts KachelX + 1 12182 KachelY 20349 -0.80572341 -0.69611498 -46.164551 -39.884450
    Unten links KachelX 12181 KachelY + 1 20350 -0.80591516 -0.69626210 -46.175537 -39.892880
    Unten rechts KachelX + 1 12182 KachelY + 1 20350 -0.80572341 -0.69626210 -46.164551 -39.892880
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.69611498--0.69626210) × R
    0.000147119999999945 × 6371000     		dl = 937.30151999965m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.69611498--0.69626210) × R
    0.000147119999999945 × 6371000     		dr = 937.30151999965m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.80591516--0.80572341) × cos(-0.69611498) × R
    0.000191749999999935 × 0.767339207568037 × 6371000     		do = 937.411694028694m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.80591516--0.80572341) × cos(-0.69626210) × R
    0.000191749999999935 × 0.767244859828497 × 6371000     		du = 937.296435126922m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.69611498)-sin(-0.69626210))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.767339207568037-0.767244859828497)×R²
    abs(-0.80572341--0.80591516)×9.43477395406456e-05×R²
    0.000191749999999935×9.43477395406456e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.43477395406456e-05×40589641000000     		ar = 878583.391091564m²