Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12180 / 20266
↖ ↑ ↗
← S 39.181175°
W 46.186523°		 ← 946.91 m → S 39.181175°
W 46.175537°		 →
↑
946.92 m
↓
↑
946.92 m
↓
S 39.189691°
W 46.186523°		 ← 946.79 m →
896 592 m²		 S 39.189691°
W 46.175537°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12180 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20266 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.371719360351562 y=0.618484497070312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.371719360351562 × 215)
    floor (0.371719360351562 × 32768)
    floor (12180.5)     		tx = 12180
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.618484497070312 × 215)
    floor (0.618484497070312 × 32768)
    floor (20266.5)     		ty = 20266
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12180 / 20266 ti = "15/12180/20266"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12180/20266.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12180 ÷ 215
    12180 ÷ 32768     		x = 0.3717041015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20266 ÷ 215
    20266 ÷ 32768     		y = 0.61846923828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3717041015625 × 2 - 1) × π
    -0.256591796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.80610690
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.61846923828125 × 2 - 1) × π
    -0.2369384765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.744364177300232
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.80610690} λ = -0.80610690}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.744364177300232))-π/2
    2×atan(0.475036242765052)-π/2
    2×0.443477906847868-π/2
    0.886955813695737-1.57079632675     		φ = -0.68384051
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.80610690} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -46.186523°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.68384051 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.181175°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12180 KachelY 20266 -0.80610690 -0.68384051 -46.186523 -39.181175
    Oben rechts KachelX + 1 12181 KachelY 20266 -0.80591516 -0.68384051 -46.175537 -39.181175
    Unten links KachelX 12180 KachelY + 1 20267 -0.80610690 -0.68398914 -46.186523 -39.189691
    Unten rechts KachelX + 1 12181 KachelY + 1 20267 -0.80591516 -0.68398914 -46.175537 -39.189691
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.68384051--0.68398914) × R
    0.000148629999999983 × 6371000     		dl = 946.921729999891m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.68384051--0.68398914) × R
    0.000148629999999983 × 6371000     		dr = 946.921729999891m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.80610690--0.80591516) × cos(-0.68384051) × R
    0.000191739999999996 × 0.775152104386658 × 6371000     		do = 946.906850498248m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.80610690--0.80591516) × cos(-0.68398914) × R
    0.000191739999999996 × 0.775058195158094 × 6371000     		du = 946.792133281653m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.68384051)-sin(-0.68398914))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.775152104386658-0.775058195158094)×R²
    abs(-0.80591516--0.80610690)×9.39092285646703e-05×R²
    0.000191739999999996×9.39092285646703e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.39092285646703e-05×40589641000000     		ar = 896592.360560521m²