Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 1218 / 2244
↖ ↑ ↗
← N 62.835089°
W126.474609°		 ← 2 230.94 m → N 62.835089°
W126.430664°		 →
↑
2 231.70 m
↓
↑
2 231.70 m
↓
N 62.815019°
W126.474609°		 ← 2 232.47 m →
4 980 491 m²		 N 62.815019°
W126.430664°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1218 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2244 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.14874267578125 y=0.27398681640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.14874267578125 × 213)
    floor (0.14874267578125 × 8192)
    floor (1218.5)     		tx = 1218
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.27398681640625 × 213)
    floor (0.27398681640625 × 8192)
    floor (2244.5)     		ty = 2244
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 1218 / 2244 ti = "13/1218/2244"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/1218/2244.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1218 ÷ 213
    1218 ÷ 8192     		x = 0.148681640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2244 ÷ 213
    2244 ÷ 8192     		y = 0.27392578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.148681640625 × 2 - 1) × π
    -0.70263671875 × 3.1415926535     		Λ = -2.20739835
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.27392578125 × 2 - 1) × π
    0.4521484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.4204662095415
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.20739835} λ = -2.20739835}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.4204662095415))-π/2
    2×atan(4.1390496549492)-π/2
    2×1.3337377579047-π/2
    2.6674755158094-1.57079632675     		φ = 1.09667919
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.20739835} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -126.474609°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.09667919 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.835089°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1218 KachelY 2244 -2.20739835 1.09667919 -126.474609 62.835089
    Oben rechts KachelX + 1 1219 KachelY 2244 -2.20663136 1.09667919 -126.430664 62.835089
    Unten links KachelX 1218 KachelY + 1 2245 -2.20739835 1.09632890 -126.474609 62.815019
    Unten rechts KachelX + 1 1219 KachelY + 1 2245 -2.20663136 1.09632890 -126.430664 62.815019
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.09667919-1.09632890) × R
    0.000350289999999864 × 6371000     		dl = 2231.69758999914m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.09667919-1.09632890) × R
    0.000350289999999864 × 6371000     		dr = 2231.69758999914m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.20739835--2.20663136) × cos(1.09667919) × R
    0.000766990000000245 × 0.456553145222833 × 6371000     		do = 2230.94388066048m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.20739835--2.20663136) × cos(1.09632890) × R
    0.000766990000000245 × 0.456864768867899 × 6371000     		du = 2232.4666275111m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.09667919)-sin(1.09632890))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.456553145222833-0.456864768867899)×R²
    abs(-2.20663136--2.20739835)×0.000311623645066317×R²
    0.000766990000000245×0.000311623645066317×6371000²
    0.000766990000000245×0.000311623645066317×40589641000000     		ar = 4980491.28805958m²