Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12179 / 20267
↖ ↑ ↗
← S 39.189691°
W 46.197510°		 ← 946.84 m → S 39.189691°
W 46.186523°		 →
↑
946.73 m
↓
↑
946.73 m
↓
S 39.198205°
W 46.197510°		 ← 946.73 m →
896 350 m²		 S 39.198205°
W 46.186523°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12179 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20267 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.371688842773438 y=0.618515014648438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.371688842773438 × 215)
    floor (0.371688842773438 × 32768)
    floor (12179.5)     		tx = 12179
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.618515014648438 × 215)
    floor (0.618515014648438 × 32768)
    floor (20267.5)     		ty = 20267
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12179 / 20267 ti = "15/12179/20267"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12179/20267.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12179 ÷ 215
    12179 ÷ 32768     		x = 0.371673583984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20267 ÷ 215
    20267 ÷ 32768     		y = 0.618499755859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.371673583984375 × 2 - 1) × π
    -0.25665283203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.80629865
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.618499755859375 × 2 - 1) × π
    -0.23699951171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.744555924898712
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.80629865} λ = -0.80629865}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.744555924898712))-π/2
    2×atan(0.474945164438615)-π/2
    2×0.443403594572326-π/2
    0.886807189144652-1.57079632675     		φ = -0.68398914
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.80629865} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -46.197510°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.68398914 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.189691°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12179 KachelY 20267 -0.80629865 -0.68398914 -46.197510 -39.189691
    Oben rechts KachelX + 1 12180 KachelY 20267 -0.80610690 -0.68398914 -46.186523 -39.189691
    Unten links KachelX 12179 KachelY + 1 20268 -0.80629865 -0.68413774 -46.197510 -39.198205
    Unten rechts KachelX + 1 12180 KachelY + 1 20268 -0.80610690 -0.68413774 -46.186523 -39.198205
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.68398914--0.68413774) × R
    0.000148600000000054 × 6371000     		dl = 946.730600000346m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.68398914--0.68413774) × R
    0.000148600000000054 × 6371000     		dr = 946.730600000346m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.80629865--0.80610690) × cos(-0.68398914) × R
    0.000191750000000046 × 0.775058195158094 × 6371000     		do = 946.841512239515m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.80629865--0.80610690) × cos(-0.68413774) × R
    0.000191750000000046 × 0.774964287767965 × 6371000     		du = 946.726791285868m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.68398914)-sin(-0.68413774))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.775058195158094-0.774964287767965)×R²
    abs(-0.80610690--0.80629865)×9.39073901287113e-05×R²
    0.000191750000000046×9.39073901287113e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.39073901287113e-05×40589641000000     		ar = 896349.529718232m²