Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12178 / 20280
↖ ↑ ↗
← S 39.300299°
W 46.208496°		 ← 945.35 m → S 39.300299°
W 46.197510°		 →
↑
945.27 m
↓
↑
945.27 m
↓
S 39.308800°
W 46.208496°		 ← 945.23 m →
893 552 m²		 S 39.308800°
W 46.197510°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12178 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20280 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.371658325195312 y=0.618911743164062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.371658325195312 × 215)
    floor (0.371658325195312 × 32768)
    floor (12178.5)     		tx = 12178
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.618911743164062 × 215)
    floor (0.618911743164062 × 32768)
    floor (20280.5)     		ty = 20280
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12178 / 20280 ti = "15/12178/20280"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12178/20280.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12178 ÷ 215
    12178 ÷ 32768     		x = 0.37164306640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20280 ÷ 215
    20280 ÷ 32768     		y = 0.618896484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.37164306640625 × 2 - 1) × π
    -0.2567138671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.80649040
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.618896484375 × 2 - 1) × π
    -0.23779296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.747048643678955
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.80649040} λ = -0.80649040}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.747048643678955))-π/2
    2×atan(0.473762734053114)-π/2
    2×0.442438354497125-π/2
    0.884876708994249-1.57079632675     		φ = -0.68591962
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.80649040} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -46.208496°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.68591962 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.300299°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12178 KachelY 20280 -0.80649040 -0.68591962 -46.208496 -39.300299
    Oben rechts KachelX + 1 12179 KachelY 20280 -0.80629865 -0.68591962 -46.197510 -39.300299
    Unten links KachelX 12178 KachelY + 1 20281 -0.80649040 -0.68606799 -46.208496 -39.308800
    Unten rechts KachelX + 1 12179 KachelY + 1 20281 -0.80629865 -0.68606799 -46.197510 -39.308800
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.68591962--0.68606799) × R
    0.000148370000000009 × 6371000     		dl = 945.265270000056m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.68591962--0.68606799) × R
    0.000148370000000009 × 6371000     		dr = 945.265270000056m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.80649040--0.80629865) × cos(-0.68591962) × R
    0.000191750000000046 × 0.773836900955659 × 6371000     		do = 945.349531306023m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.80649040--0.80629865) × cos(-0.68606799) × R
    0.000191750000000046 × 0.773742917118655 × 6371000     		du = 945.234716961873m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.68591962)-sin(-0.68606799))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.773836900955659-0.773742917118655)×R²
    abs(-0.80629865--0.80649040)×9.39838370036528e-05×R²
    0.000191750000000046×9.39838370036528e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.39838370036528e-05×40589641000000     		ar = 893551.816587649m²