Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12177 / 20290
↖ ↑ ↗
← S 39.385264°
W 46.219483°		 ← 944.20 m → S 39.385264°
W 46.208496°		 →
↑
944.12 m
↓
↑
944.12 m
↓
S 39.393754°
W 46.219483°		 ← 944.09 m →
891 383 m²		 S 39.393754°
W 46.208496°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12177 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20290 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.371627807617188 y=0.619216918945312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.371627807617188 × 215)
    floor (0.371627807617188 × 32768)
    floor (12177.5)     		tx = 12177
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.619216918945312 × 215)
    floor (0.619216918945312 × 32768)
    floor (20290.5)     		ty = 20290
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12177 / 20290 ti = "15/12177/20290"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12177/20290.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12177 ÷ 215
    12177 ÷ 32768     		x = 0.371612548828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20290 ÷ 215
    20290 ÷ 32768     		y = 0.61920166015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.371612548828125 × 2 - 1) × π
    -0.25677490234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.80668215
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.61920166015625 × 2 - 1) × π
    -0.2384033203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.748966119663757
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.80668215} λ = -0.80668215}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.748966119663757))-π/2
    2×atan(0.472855175776742)-π/2
    2×0.441696898271481-π/2
    0.883393796542961-1.57079632675     		φ = -0.68740253
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.80668215} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -46.219483°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.68740253 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.385264°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12177 KachelY 20290 -0.80668215 -0.68740253 -46.219483 -39.385264
    Oben rechts KachelX + 1 12178 KachelY 20290 -0.80649040 -0.68740253 -46.208496 -39.385264
    Unten links KachelX 12177 KachelY + 1 20291 -0.80668215 -0.68755072 -46.219483 -39.393754
    Unten rechts KachelX + 1 12178 KachelY + 1 20291 -0.80649040 -0.68755072 -46.208496 -39.393754
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.68740253--0.68755072) × R
    0.000148189999999992 × 6371000     		dl = 944.118489999952m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.68740253--0.68755072) × R
    0.000148189999999992 × 6371000     		dr = 944.118489999952m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.80668215--0.80649040) × cos(-0.68740253) × R
    0.000191749999999935 × 0.772896797633342 × 6371000     		do = 944.201064187878m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.80668215--0.80649040) × cos(-0.68755072) × R
    0.000191749999999935 × 0.772802757887321 × 6371000     		du = 944.086181543078m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.68740253)-sin(-0.68755072))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.772896797633342-0.772802757887321)×R²
    abs(-0.80649040--0.80668215)×9.40397460209574e-05×R²
    0.000191749999999935×9.40397460209574e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.40397460209574e-05×40589641000000     		ar = 891383.453194352m²