Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12177 / 20255
↖ ↑ ↗
← S 39.087436°
W 46.219483°		 ← 948.22 m → S 39.087436°
W 46.208496°		 →
↑
948.20 m
↓
↑
948.20 m
↓
S 39.095963°
W 46.219483°		 ← 948.10 m →
899 042 m²		 S 39.095963°
W 46.208496°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12177 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20255 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.371627807617188 y=0.618148803710938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.371627807617188 × 215)
    floor (0.371627807617188 × 32768)
    floor (12177.5)     		tx = 12177
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.618148803710938 × 215)
    floor (0.618148803710938 × 32768)
    floor (20255.5)     		ty = 20255
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12177 / 20255 ti = "15/12177/20255"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12177/20255.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12177 ÷ 215
    12177 ÷ 32768     		x = 0.371612548828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20255 ÷ 215
    20255 ÷ 32768     		y = 0.618133544921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.371612548828125 × 2 - 1) × π
    -0.25677490234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.80668215
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.618133544921875 × 2 - 1) × π
    -0.23626708984375 × 3.1415926535     		Φ = -0.742254953716949
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.80668215} λ = -0.80668215}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.742254953716949))-π/2
    2×atan(0.476039257830868)-π/2
    2×0.444295935943762-π/2
    0.888591871887524-1.57079632675     		φ = -0.68220445
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.80668215} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -46.219483°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.68220445 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.087436°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12177 KachelY 20255 -0.80668215 -0.68220445 -46.219483 -39.087436
    Oben rechts KachelX + 1 12178 KachelY 20255 -0.80649040 -0.68220445 -46.208496 -39.087436
    Unten links KachelX 12177 KachelY + 1 20256 -0.80668215 -0.68235328 -46.219483 -39.095963
    Unten rechts KachelX + 1 12178 KachelY + 1 20256 -0.80649040 -0.68235328 -46.208496 -39.095963
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.68220445--0.68235328) × R
    0.000148829999999989 × 6371000     		dl = 948.195929999928m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.68220445--0.68235328) × R
    0.000148829999999989 × 6371000     		dr = 948.195929999928m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.80668215--0.80649040) × cos(-0.68220445) × R
    0.000191749999999935 × 0.776184687746463 × 6371000     		do = 948.217679799752m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.80668215--0.80649040) × cos(-0.68235328) × R
    0.000191749999999935 × 0.776090840999745 × 6371000     		du = 948.103032930477m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.68220445)-sin(-0.68235328))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.776184687746463-0.776090840999745)×R²
    abs(-0.80649040--0.80668215)×9.38467467179738e-05×R²
    0.000191749999999935×9.38467467179738e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.38467467179738e-05×40589641000000     		ar = 899041.792551773m²