Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 121766 / 27278
↖ ↑ ↗
← N 71.844251°
E154.440308°		 ← 95.15 m → N 71.844251°
E154.443054°		 →
↑
95.18 m
↓
↑
95.18 m
↓
N 71.843395°
E154.440308°		 ← 95.16 m →
9 057 m²		 N 71.843395°
E154.443054°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 121766 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27278 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.929004669189453 y=0.208118438720703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.929004669189453 × 217)
    floor (0.929004669189453 × 131072)
    floor (121766.5)     		tx = 121766
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.208118438720703 × 217)
    floor (0.208118438720703 × 131072)
    floor (27278.5)     		ty = 27278
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 121766 / 27278 ti = "17/121766/27278"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/121766/27278.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 121766 ÷ 217
    121766 ÷ 131072     		x = 0.929000854492188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27278 ÷ 217
    27278 ÷ 131072     		y = 0.208114624023438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.929000854492188 × 2 - 1) × π
    0.858001708984375 × 3.1415926535     		Λ = 2.69549187
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.208114624023438 × 2 - 1) × π
    0.583770751953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.83396990566411
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.69549187} λ = 2.69549187}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.83396990566411))-π/2
    2×atan(6.25868378904706)-π/2
    2×1.41235752740235-π/2
    2.82471505480469-1.57079632675     		φ = 1.25391873
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.69549187} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 154.440308°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25391873 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.844251°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 121766 KachelY 27278 2.69549187 1.25391873 154.440308 71.844251
    Oben rechts KachelX + 1 121767 KachelY 27278 2.69553980 1.25391873 154.443054 71.844251
    Unten links KachelX 121766 KachelY + 1 27279 2.69549187 1.25390379 154.440308 71.843395
    Unten rechts KachelX + 1 121767 KachelY + 1 27279 2.69553980 1.25390379 154.443054 71.843395
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25391873-1.25390379) × R
    1.49400000000188e-05 × 6371000     		dl = 95.1827400001199m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25391873-1.25390379) × R
    1.49400000000188e-05 × 6371000     		dr = 95.1827400001199m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.69549187-2.69553980) × cos(1.25391873) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.311601136303686 × 6371000     		do = 95.1511555320584m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.69549187-2.69553980) × cos(1.25390379) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.311615332451024 × 6371000     		du = 95.1554904964277m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25391873)-sin(1.25390379))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.311601136303686-0.311615332451024)×R²
    abs(2.69553980-2.69549187)×1.4196147337997e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.4196147337997e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.4196147337997e-05×40589641000000     		ar = 9056.9540047226m²