Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 121743 / 27407
↖ ↑ ↗
← N 71.733523°
E154.377136°		 ← 95.71 m → N 71.733523°
E154.379883°		 →
↑
95.76 m
↓
↑
95.76 m
↓
N 71.732662°
E154.377136°		 ← 95.72 m →
9 165 m²		 N 71.732662°
E154.379883°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 121743 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27407 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.928829193115234 y=0.209102630615234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.928829193115234 × 217)
    floor (0.928829193115234 × 131072)
    floor (121743.5)     		tx = 121743
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.209102630615234 × 217)
    floor (0.209102630615234 × 131072)
    floor (27407.5)     		ty = 27407
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 121743 / 27407 ti = "17/121743/27407"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/121743/27407.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 121743 ÷ 217
    121743 ÷ 131072     		x = 0.928825378417969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27407 ÷ 217
    27407 ÷ 131072     		y = 0.209098815917969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.928825378417969 × 2 - 1) × π
    0.857650756835938 × 3.1415926535     		Λ = 2.69438932
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.209098815917969 × 2 - 1) × π
    0.581802368164062 × 3.1415926535     		Φ = 1.82778604561312
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.69438932} λ = 2.69438932}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.82778604561312))-π/2
    2×atan(6.22010038453189)-π/2
    2×1.41139124293015-π/2
    2.8227824858603-1.57079632675     		φ = 1.25198616
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.69438932} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 154.377136°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25198616 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.733523°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 121743 KachelY 27407 2.69438932 1.25198616 154.377136 71.733523
    Oben rechts KachelX + 1 121744 KachelY 27407 2.69443725 1.25198616 154.379883 71.733523
    Unten links KachelX 121743 KachelY + 1 27408 2.69438932 1.25197113 154.377136 71.732662
    Unten rechts KachelX + 1 121744 KachelY + 1 27408 2.69443725 1.25197113 154.379883 71.732662
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25198616-1.25197113) × R
    1.50299999999159e-05 × 6371000     		dl = 95.7561299994645m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25198616-1.25197113) × R
    1.50299999999159e-05 × 6371000     		dr = 95.7561299994645m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.69438932-2.69443725) × cos(1.25198616) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.313436906396319 × 6371000     		do = 95.7117300141585m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.69438932-2.69443725) × cos(1.25197113) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.313451178984603 × 6371000     		du = 95.7160883206904m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25198616)-sin(1.25197113))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.313436906396319-0.313451178984603)×R²
    abs(2.69443725-2.69438932)×1.42725882845696e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.42725882845696e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.42725882845696e-05×40589641000000     		ar = 9165.19352919537m²