Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 121742 / 27408
↖ ↑ ↗
← N 71.732662°
E154.374390°		 ← 95.74 m → N 71.732662°
E154.377136°		 →
↑
95.69 m
↓
↑
95.69 m
↓
N 71.731801°
E154.374390°		 ← 95.74 m →
9 161 m²		 N 71.731801°
E154.377136°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 121742 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27408 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.928821563720703 y=0.209110260009766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.928821563720703 × 217)
    floor (0.928821563720703 × 131072)
    floor (121742.5)     		tx = 121742
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.209110260009766 × 217)
    floor (0.209110260009766 × 131072)
    floor (27408.5)     		ty = 27408
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 121742 / 27408 ti = "17/121742/27408"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/121742/27408.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 121742 ÷ 217
    121742 ÷ 131072     		x = 0.928817749023438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27408 ÷ 217
    27408 ÷ 131072     		y = 0.2091064453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.928817749023438 × 2 - 1) × π
    0.857635498046875 × 3.1415926535     		Λ = 2.69434138
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2091064453125 × 2 - 1) × π
    0.581787109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.8277381087135
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.69434138} λ = 2.69434138}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.8277381087135))-π/2
    2×atan(6.21980221935074)-π/2
    2×1.41138373016238-π/2
    2.82276746032475-1.57079632675     		φ = 1.25197113
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.69434138} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 154.374390°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25197113 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.732662°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 121742 KachelY 27408 2.69434138 1.25197113 154.374390 71.732662
    Oben rechts KachelX + 1 121743 KachelY 27408 2.69438932 1.25197113 154.377136 71.732662
    Unten links KachelX 121742 KachelY + 1 27409 2.69434138 1.25195611 154.374390 71.731801
    Unten rechts KachelX + 1 121743 KachelY + 1 27409 2.69438932 1.25195611 154.377136 71.731801
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25197113-1.25195611) × R
    1.50199999999767e-05 × 6371000     		dl = 95.6924199998517m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25197113-1.25195611) × R
    1.50199999999767e-05 × 6371000     		dr = 95.6924199998517m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.69434138-2.69438932) × cos(1.25197113) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.313451178984603 × 6371000     		do = 95.7360582951822m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.69434138-2.69438932) × cos(1.25195611) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.313465442006083 × 6371000     		du = 95.7404145890722m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25197113)-sin(1.25195611))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.313451178984603-0.313465442006083)×R²
    abs(2.69438932-2.69434138)×1.42630214797212e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.42630214797212e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.42630214797212e-05×40589641000000     		ar = 9161.42353178647m²