Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 12174 / 20249
↖ ↑ ↗
← S 39.036253°
W 46.252441°		 ← 948.91 m → S 39.036253°
W 46.241455°		 →
↑
948.83 m
↓
↑
948.83 m
↓
S 39.044786°
W 46.252441°		 ← 948.79 m →
900 298 m²		 S 39.044786°
W 46.241455°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12174 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20249 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.371536254882812 y=0.617965698242188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.371536254882812 × 215)
    floor (0.371536254882812 × 32768)
    floor (12174.5)     		tx = 12174
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.617965698242188 × 215)
    floor (0.617965698242188 × 32768)
    floor (20249.5)     		ty = 20249
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12174 / 20249 ti = "15/12174/20249"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12174/20249.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12174 ÷ 215
    12174 ÷ 32768     		x = 0.37152099609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20249 ÷ 215
    20249 ÷ 32768     		y = 0.617950439453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.37152099609375 × 2 - 1) × π
    -0.2569580078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.80725739
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.617950439453125 × 2 - 1) × π
    -0.23590087890625 × 3.1415926535     		Φ = -0.741104468126068
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.80725739} λ = -0.80725739}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.741104468126068))-π/2
    2×atan(0.4765872493054)-π/2
    2×0.444742592512155-π/2
    0.88948518502431-1.57079632675     		φ = -0.68131114
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.80725739} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -46.252441°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.68131114 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.036253°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12174 KachelY 20249 -0.80725739 -0.68131114 -46.252441 -39.036253
    Oben rechts KachelX + 1 12175 KachelY 20249 -0.80706564 -0.68131114 -46.241455 -39.036253
    Unten links KachelX 12174 KachelY + 1 20250 -0.80725739 -0.68146007 -46.252441 -39.044786
    Unten rechts KachelX + 1 12175 KachelY + 1 20250 -0.80706564 -0.68146007 -46.241455 -39.044786
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.68131114--0.68146007) × R
    0.000148929999999936 × 6371000     		dl = 948.833029999593m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.68131114--0.68146007) × R
    0.000148929999999936 × 6371000     		dr = 948.833029999593m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.80725739--0.80706564) × cos(-0.68131114) × R
    0.000191749999999935 × 0.776747614943721 × 6371000     		do = 948.905373758815m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.80725739--0.80706564) × cos(-0.68146007) × R
    0.000191749999999935 × 0.776653808430218 × 6371000     		du = 948.790776040014m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.68131114)-sin(-0.68146007))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.776747614943721-0.776653808430218)×R²
    abs(-0.80706564--0.80725739)×9.3806513503214e-05×R²
    0.000191749999999935×9.3806513503214e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.3806513503214e-05×40589641000000     		ar = 900298.39558065m²