Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 121738 / 27496
↖ ↑ ↗
← N 71.656749°
E154.363403°		 ← 96.12 m → N 71.656749°
E154.366150°		 →
↑
96.07 m
↓
↑
96.07 m
↓
N 71.655885°
E154.363403°		 ← 96.12 m →
9 235 m²		 N 71.655885°
E154.366150°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 121738 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27496 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.928791046142578 y=0.209781646728516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.928791046142578 × 217)
    floor (0.928791046142578 × 131072)
    floor (121738.5)     		tx = 121738
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.209781646728516 × 217)
    floor (0.209781646728516 × 131072)
    floor (27496.5)     		ty = 27496
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 121738 / 27496 ti = "17/121738/27496"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/121738/27496.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 121738 ÷ 217
    121738 ÷ 131072     		x = 0.928787231445312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27496 ÷ 217
    27496 ÷ 131072     		y = 0.20977783203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.928787231445312 × 2 - 1) × π
    0.857574462890625 × 3.1415926535     		Λ = 2.69414963
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.20977783203125 × 2 - 1) × π
    0.5804443359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.82351966154694
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.69414963} λ = 2.69414963}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.82351966154694))-π/2
    2×atan(6.19361957617769)-π/2
    2×1.41072126576126-π/2
    2.82144253152251-1.57079632675     		φ = 1.25064620
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.69414963} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 154.363403°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25064620 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.656749°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 121738 KachelY 27496 2.69414963 1.25064620 154.363403 71.656749
    Oben rechts KachelX + 1 121739 KachelY 27496 2.69419757 1.25064620 154.366150 71.656749
    Unten links KachelX 121738 KachelY + 1 27497 2.69414963 1.25063112 154.363403 71.655885
    Unten rechts KachelX + 1 121739 KachelY + 1 27497 2.69419757 1.25063112 154.366150 71.655885
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25064620-1.25063112) × R
    1.50800000000562e-05 × 6371000     		dl = 96.0746800003578m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25064620-1.25063112) × R
    1.50800000000562e-05 × 6371000     		dr = 96.0746800003578m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.69414963-2.69419757) × cos(1.25064620) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.314709062741642 × 6371000     		do = 96.1202483725095m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.69414963-2.69419757) × cos(1.25063112) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.314723376463651 × 6371000     		du = 96.1246201516461m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25064620)-sin(1.25063112))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.314709062741642-0.314723376463651)×R²
    abs(2.69419757-2.69414963)×1.43137220084411e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.43137220084411e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.43137220084411e-05×40589641000000     		ar = 9234.93211281141m²