Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 121737 / 27497
↖ ↑ ↗
← N 71.655885°
E154.360657°		 ← 96.10 m → N 71.655885°
E154.363403°		 →
↑
96.14 m
↓
↑
96.14 m
↓
N 71.655020°
E154.360657°		 ← 96.11 m →
9 240 m²		 N 71.655020°
E154.363403°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 121737 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27497 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.928783416748047 y=0.209789276123047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.928783416748047 × 217)
    floor (0.928783416748047 × 131072)
    floor (121737.5)     		tx = 121737
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.209789276123047 × 217)
    floor (0.209789276123047 × 131072)
    floor (27497.5)     		ty = 27497
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 121737 / 27497 ti = "17/121737/27497"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/121737/27497.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 121737 ÷ 217
    121737 ÷ 131072     		x = 0.928779602050781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27497 ÷ 217
    27497 ÷ 131072     		y = 0.209785461425781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.928779602050781 × 2 - 1) × π
    0.857559204101562 × 3.1415926535     		Λ = 2.69410170
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.209785461425781 × 2 - 1) × π
    0.580429077148438 × 3.1415926535     		Φ = 1.82347172464732
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.69410170} λ = 2.69410170}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.82347172464732))-π/2
    2×atan(6.19332268037398)-π/2
    2×1.41071372250138-π/2
    2.82142744500275-1.57079632675     		φ = 1.25063112
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.69410170} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 154.360657°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25063112 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.655885°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 121737 KachelY 27497 2.69410170 1.25063112 154.360657 71.655885
    Oben rechts KachelX + 1 121738 KachelY 27497 2.69414963 1.25063112 154.363403 71.655885
    Unten links KachelX 121737 KachelY + 1 27498 2.69410170 1.25061603 154.360657 71.655020
    Unten rechts KachelX + 1 121738 KachelY + 1 27498 2.69414963 1.25061603 154.363403 71.655020
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25063112-1.25061603) × R
    1.50899999999954e-05 × 6371000     		dl = 96.1383899999706m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25063112-1.25061603) × R
    1.50899999999954e-05 × 6371000     		dr = 96.1383899999706m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.69410170-2.69414963) × cos(1.25063112) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.314723376463651 × 6371000     		do = 96.1045691254535m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.69410170-2.69414963) × cos(1.25061603) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.314737699605876 × 6371000     		du = 96.1089428692393m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25063112)-sin(1.25061603))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.314723376463651-0.314737699605876)×R²
    abs(2.69414963-2.69410170)×1.43231422251588e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.43231422251588e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.43231422251588e-05×40589641000000     		ar = 9239.54879002068m²