Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 121727 / 27519
↖ ↑ ↗
← N 71.636858°
E154.333191°		 ← 96.20 m → N 71.636858°
E154.335937°		 →
↑
96.20 m
↓
↑
96.20 m
↓
N 71.635993°
E154.333191°		 ← 96.21 m →
9 255 m²		 N 71.635993°
E154.335937°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 121727 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27519 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.928707122802734 y=0.209957122802734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.928707122802734 × 217)
    floor (0.928707122802734 × 131072)
    floor (121727.5)     		tx = 121727
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.209957122802734 × 217)
    floor (0.209957122802734 × 131072)
    floor (27519.5)     		ty = 27519
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 121727 / 27519 ti = "17/121727/27519"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/121727/27519.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 121727 ÷ 217
    121727 ÷ 131072     		x = 0.928703308105469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27519 ÷ 217
    27519 ÷ 131072     		y = 0.209953308105469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.928703308105469 × 2 - 1) × π
    0.857406616210938 × 3.1415926535     		Λ = 2.69362233
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.209953308105469 × 2 - 1) × π
    0.580093383789062 × 3.1415926535     		Φ = 1.82241711285567
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.69362233} λ = 2.69362233}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.82241711285567))-π/2
    2×atan(6.18679457216081)-π/2
    2×1.41054768392146-π/2
    2.82109536784292-1.57079632675     		φ = 1.25029904
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.69362233} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 154.333191°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25029904 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.636858°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 121727 KachelY 27519 2.69362233 1.25029904 154.333191 71.636858
    Oben rechts KachelX + 1 121728 KachelY 27519 2.69367026 1.25029904 154.335937 71.636858
    Unten links KachelX 121727 KachelY + 1 27520 2.69362233 1.25028394 154.333191 71.635993
    Unten rechts KachelX + 1 121728 KachelY + 1 27520 2.69367026 1.25028394 154.335937 71.635993
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25029904-1.25028394) × R
    1.50999999999346e-05 × 6371000     		dl = 96.2020999995834m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25029904-1.25028394) × R
    1.50999999999346e-05 × 6371000     		dr = 96.2020999995834m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.69362233-2.69367026) × cos(1.25029904) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.315038563940087 × 6371000     		do = 96.2008154130888m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.69362233-2.69367026) × cos(1.25028394) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.315052894995122 × 6371000     		du = 96.2051915731461m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25029904)-sin(1.25028394))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.315038563940087-0.315052894995122)×R²
    abs(2.69367026-2.69362233)×1.43310550343445e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.43310550343445e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.43310550343445e-05×40589641000000     		ar = 9254.93096255775m²