Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12172 / 20260
↖ ↑ ↗
← S 39.130060°
W 46.274414°		 ← 947.59 m → S 39.130060°
W 46.263428°		 →
↑
947.56 m
↓
↑
947.56 m
↓
S 39.138582°
W 46.274414°		 ← 947.48 m →
897 848 m²		 S 39.138582°
W 46.263428°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12172 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20260 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.371475219726562 y=0.618301391601562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.371475219726562 × 215)
    floor (0.371475219726562 × 32768)
    floor (12172.5)     		tx = 12172
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.618301391601562 × 215)
    floor (0.618301391601562 × 32768)
    floor (20260.5)     		ty = 20260
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12172 / 20260 ti = "15/12172/20260"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12172/20260.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12172 ÷ 215
    12172 ÷ 32768     		x = 0.3714599609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20260 ÷ 215
    20260 ÷ 32768     		y = 0.6182861328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3714599609375 × 2 - 1) × π
    -0.257080078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.80764088
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6182861328125 × 2 - 1) × π
    -0.236572265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.743213691709351
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.80764088} λ = -0.80764088}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.743213691709351))-π/2
    2×atan(0.475583079621144)-π/2
    2×0.443923969541194-π/2
    0.887847939082388-1.57079632675     		φ = -0.68294839
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.80764088} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -46.274414°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.68294839 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.130060°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12172 KachelY 20260 -0.80764088 -0.68294839 -46.274414 -39.130060
    Oben rechts KachelX + 1 12173 KachelY 20260 -0.80744914 -0.68294839 -46.263428 -39.130060
    Unten links KachelX 12172 KachelY + 1 20261 -0.80764088 -0.68309712 -46.274414 -39.138582
    Unten rechts KachelX + 1 12173 KachelY + 1 20261 -0.80744914 -0.68309712 -46.263428 -39.138582
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.68294839--0.68309712) × R
    0.000148730000000041 × 6371000     		dl = 947.558830000263m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.68294839--0.68309712) × R
    0.000148730000000041 × 6371000     		dr = 947.558830000263m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.80764088--0.80744914) × cos(-0.68294839) × R
    0.000191739999999996 × 0.775715414654103 × 6371000     		do = 947.594976542389m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.80764088--0.80744914) × cos(-0.68309712) × R
    0.000191739999999996 × 0.775621545118759 × 6371000     		du = 947.480307814062m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.68294839)-sin(-0.68309712))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.775715414654103-0.775621545118759)×R²
    abs(-0.80744914--0.80764088)×9.38695353440711e-05×R²
    0.000191739999999996×9.38695353440711e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.38695353440711e-05×40589641000000     		ar = 897847.661258579m²